Question

Alguém pode me ajudar nessas duas questões?

Answer 1

Primeiro podemos escrever as três retas em função de x:

$y = \dfrac{1-x}{2}$

$y=5$

e:

$y = \dfrac{x-7}{2}$

Agora, se igualarmos uma a outra, podemos encontrar os três pontos em que as retas se cruzam, esses pontos são as coordenadas dos vértices do triângulo:

$\dfrac{1-x_1}{2}=5$

$1-x_1=10$

$1-10=x_1$

$x_1 = -9$

Então, o primeiro ponto é: $P_1 = (-9,5)$

O segundo ponto pode ser encontrado igualando a segunda e a terceira reta:

$\dfrac{x_2-7}{2}=5$

$x_2-7=10$

$x+2=10+7$

$x_2 = 17$

Então, o primeiro ponto é: $P_2 = (17,5)$

Agora, o terceiro ponto pode ser encontrado igualando-se a primeira à terceira reta:

$\dfrac{1-x_3}{2}=\dfrac{x_3-7}{2}$

$1-x_3=\dfrac{x_3-7}{2}\cdot 2$

$1-x_3=x_3-7$

$2\cdot x_3 = 1+7$

$2 \cdot x_3 = 8$

$x_3 = \dfrac{8}{2}$

$x_3 = 4$

Calculando o valor de $y_3$ agora:

$y_3 = \dfrac{1-x_3}{2}$

$y_3 = \dfrac{1-4}{2}$

$y_3 = -\dfrac{3}{2}$

Assim, o último ponto é: $P_3 = \left(4,-\dfrac{-3}{2}\right)$

Sabendo as coordenadas dos três pontos, podemos calcular a distância entre estes pontos e encontrar a medida dos lados do triângulo.

A distância entre dois pontos é dada por:

$d_{p_1,p_2} = \sqrt[2]{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Então:

$d_{p_1,p_2} = \sqrt[2]{(17-(-9))^2 + (5 - 5)^2}$

$d_{p_1,p_2} = \sqrt[2]{(17+9)^2 + (0)^2}$

$d_{p_1,p_2} = \sqrt[2]{(26)^2 + 0}$

$d_{p_1,p_2} = 26 \text{ u.m.}$

Para o 2° e 3°:

$d_{p_2,p_3} = \sqrt[2]{(17-4)^2 + \left(5 - \left(-\dfrac{3}{2}\right)\right)^2}$

$d_{p_2,p_3} = \sqrt[2]{(13)^2 +\left(\dfrac{10}{2} +\dfrac{3}{2}\right)^2}$

$d_{p_2,p_3} = \sqrt[2]{169 +\left(\dfrac{13}{2}\right)^2}$

$d_{p_2,p_3} = \sqrt[2]{169 +\dfrac{169}{4}}$

$d_{p_2,p_3} = \sqrt[2]{\dfrac{4 \cdot 169}{4} +\dfrac{169}{4}}$

$d_{p_2,p_3} = \sqrt[2]{\dfrac{5 \cdot 169}{4}}$

$d_{p_2,p_3} = \dfrac{\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[2]{169}}{\sqrt[2]{4}}$

$d_{p_2,p_3} = \dfrac{13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2} \text{ u.m.}$

Agora, a distância entre o 1° e o 3°:

$d_{p_1,p_3} = \sqrt[2]{(-9-4)^2 + \left(5 - \left(-\dfrac{3}{2}\right)\right)^2}$

$d_{p_1,p_3} = \sqrt[2]{(-13)^2 +\left(\dfrac{10}{2} +\dfrac{3}{2}\right)^2}$

$d_{p_1,p_3} = \sqrt[2]{169 +\left(\dfrac{13}{2}\right)^2}$

$d_{p_1,p_3} = \sqrt[2]{169 +\dfrac{169}{4}}$

$d_{p_1,p_3} = \sqrt[2]{\dfrac{4 \cdot 169}{4} +\dfrac{169}{4}}$

$d_{p_1,p_3} = \sqrt[2]{\dfrac{5 \cdot 169}{4}}$

$d_{p_1,p_3} = \dfrac{\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[2]{169}}{\sqrt[2]{4}}$

$d_{p_1,p_3} = \dfrac{13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2} \text{ u.m.}$

Agora, sabendo o comprimento dos três lados, podemos utilizar o método do semi-perímetro para calcular a área:

$A = \sqrt[2]{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}$

Onde a, b e c são as medidas dos lados e p é o semi-perímetro, dado por:

$p = \dfrac{a+b+c}{2}$

Então, primeiro calculamos o semi-perímetro:

$p = \dfrac{26+\dfrac{13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}+\dfrac{13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}}{2}$

$p = \dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}$

Agora, substituindo na equação:

$A = \sqrt[2]{\dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2} \cdot \left(\dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}-26\right) \cdot \left(\dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}-\dfrac{13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}\right)^2}$

Calculando:

$A = \sqrt[2]{\dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2} \cdot \left(\dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}-\dfrac{52}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{26}{2}\right)^2}$

$A = \sqrt[2]{\dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2} \cdot \left(\dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}-\dfrac{52}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{26}{2}\right)^2}$

$A = \sqrt[2]{\dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2} \cdot \left(\dfrac{-26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{26}{2}\right)^2}$

$A = \sqrt[2]{\dfrac{26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2} \cdot \left(\dfrac{-26+13 \cdot \sqrt[2]{5}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{26}{2}\right)^2}$

$A = \sqrt[2]{\dfrac{26 \cdot (-26)+26 \cdot 13 \cdot \sqrt[2]{5}-26 \cdot 13 \cdot \sqrt[2]{5}+13^2 \cdot \sqrt[2]{5}^2}{4} \cdot \left(\dfrac{26}{2}\right)^2}$

$A = \sqrt[2]{\dfrac{-26^2+169 \cdot 5}{4} \cdot \left(\dfrac{26}{2}\right)^2}$

$A = \sqrt[2]{\dfrac{-676+845}{2^2} \cdot \left(\dfrac{26}{2}\right)^2}$

$A = \sqrt[2]{\dfrac{169}{2^2} \cdot \left(\dfrac{26}{2}\right)^2}$

$A = \sqrt[2]{\dfrac{13^2}{2^2} \cdot \left(\dfrac{26}{2}\right)^2}$

$A = \dfrac{\sqrt[2]{13^2}}{\sqrt[2]{{2^2}}} \cdot \dfrac{\sqrt[2]{26^2}}{\sqrt[2]{2^2}}}$

$A = \dfrac{13}{2} \cdot \dfrac{26}{2}$

$A = \dfrac{338}{4}$

$A = 84,5 \text{ u.a.}$

Alternativa A