Question

alguém pode me ajudar nessa questão, por favor? não consegui resolver

questão de geometria analítica!

(Fmp) Os pontos colineares A, B e C estão, respectivamente, em Petrópolis, Teresópolis e Nova Friburgo como mostra o mapa a seguir (imagem anexada). Sabe-se que a distância de B até C é o dobro da distância de A até B.

Em um certo sistema de coordenadas, cuja origem está no centro da cidade do Rio de Janeiro, esses pontos são dados por:
A = (0,0 ; 4,0), B = (2,1 ; 4,7) e C = (x ; y).

Considerando esse contexto, o valor de x+y é:

a) 12,4
b) 13,2
c) 14,0
d) 12,8
e) 13,6​

Answer 1

Considerando esse contexto, o valor de x+y é:

a) 12,4

Explicação:

Em geometria analítica, a distância entre dois pontos é obtida pela seguinte fórmula:

d = √(xB - xA)² + (yB - yA)²

As coordenadas dos pontos A, B e C são:

A(0,0; 4,0) => xA = 0 e yA = 4

B(2,1; 4,7) => xB = 2,1 e yB = 4,7

C(x; y) => xC = x e yC = y

Logo, a distância entre A e B será:

dAB = √(xB - xA)² + (yB - yA)²

dAB = √(2,1 - 0)² + (4,7 - 4)²

dAB = √(2,1)² + (0,7)²

dAB = √4,41 + 0,49

dAB = √4,9

A distância entre B e C será:

dBC = √(xC- xB)² + (yC - yB)²

dBC = √(x - 2,1)² + (y - 4,7)²

A distância entre A e C será:

dAC = √(xC- xA)² + (yC - yA)²

dAC = √(x - 0)² + (y - 4)²

A distância de B até C é o dobro da distância de A até B. Logo:

dBC = 2dAB

√(x - 2,1)² + (y - 4,7)² = 2·√4,9

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

(x - 2,1)² + (y - 4,7)² = 4·4,9

(x - 2,1)² + (y - 4,7)² = 19,6

x² - 4,2x + 4,41 + y² - 9,4y + 22,09 = 19,6

x² + y² - 4,2x - 9,4y + 4,41 + 22,09 - 19,6 = 0

x² + y² - 4,2x - 9,4y + 6,9 = 0

x² + y² = 4,2x + 9,4y - 6,9  (I)

Daí, pode-se concluir que AC corresponde a três vezes a distância AB.

dAC = 3dAB

√(x - 0)² + (y - 4)² = 3·√4,9

(x - 0)² + (y - 4)² = 9·4,9

(x - 0)² + (y - 4)² = 44,1

x² + y² - 8y + 16 = 44,1

x² + y² - 8y + 16 - 44,1 = 0

x² + y² - 8y - 28,1 = 0

x² + y² = 8y + 28,1  (II)

Igualando (I) e (II):

4,2x + 9,4y - 6,9 = 8y + 28,1

4,2x + 9,4y - 8y - 6,9 = 28,1

4,2x + 1,4y = 28,1 + 6,9

4,2x + 1,4y = 35

0,6x + 0,2y = 5

6x + 2y = 50

3x + y = 25

y = 25 - 3x

x² + y² = 8y + 28,1

x² + (25 - 3x)² = 8(25 - 3x) + 28,1

x² + 625 - 150x + 9x² = 200 - 24x + 28,1

x² + 9x² - 150x + 24x + 625 - 200 - 28,1 = 0

10x² - 126x + 396,9 = 0

x² - 12,6 + 39,69 = 0

Resolvendo a equação do 2° grau, a única solução é:

x = 6,3

y = 25 - 3x

y = 25 - 3·6,3

y = 25 - 18,9

y = 6,1

Logo, x + y é

6,3 + 6,1 = 12,4

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