Matemática, perguntado por RafaelTomAFA, 1 ano atrás

Alguém pode me ajudar nessa questão de trigonometria ?

Calcule o menor valor positivo de a que satisfaz a igualdade
tg(a) x tg(75º) =(\sqrt{3} + 1) / (\sqrt{3} - 1 )

Soluções para a tarefa

Respondido por FelipeQueiroz
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(i) A primeira coisa a se fazer aqui é calcular a tangente de 75°. Existe uma fórmula para a tangente da soma de dois ângulos, que é dada por

\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}

Além disso, note que 75° = 45° + 30°, que são dois ângulos que sabemos o valor da tangente. Aplicando esses valores na fórmula acima temos:

\tan(45^\circ+30^\circ) = \dfrac{\tan 45^\circ+\tan30^\circ}{1- \tan 45^\circ.\tan 30^\circ}\\ \\ \tan75^\circ = \dfrac{1+\frac 1\sqrt3}{1-1.\frac{1}{\sqrt3}} \\ \\ \tan75^\circ= \dfrac{(\sqrt3+1)/\sqrt3}{(\sqrt3-1)/\sqrt3}\\ \\ \underline{\overline{\tan75^\circ = \dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}}}

(ii) Calculado o valor da tangente de 75°, podemos usar esse valor na equação e ver o que aparece de informação útil:

\tan a.\tan 75^\circ=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\\ \\ \tan a.\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\\ \\ \tan a=1

Encontramos uma equação trigonométrica no fim das contas. Podemos resolvê-la e dizer quais são todas as raízes da equação, mas como é pedida apenas a menor raiz positiva, encontramos que a só pode valer 45°.

R: 45°

RafaelTomAFA: Vlw, consegui entender tudo.
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