Question

alguem pode me ajudar nessa questão de calculo?

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$f(t) = \begin{cases} \frac{t {}^{2} - 4}{t + 2}, \: se \: 0 \leqslant t < 2 \\ at {} {}^{2} - bt + 3 , \: se \: 2 \leqslant t < 3 \\ 2t + a - b, \: se \: t \geqslant 3 \end{cases}$

O enunciado pergunta quais os valores de "a" e "b" que tornam essa função contínua, para fazer essa verificação devemos usar as restrições para uma função ser contínua, são elas:

$1) \: f(x) \to definida \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\2)\lim_{x\to a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\to a {}^{ - } }f(x) \\ 3)\lim_{x\to a}f(x) = f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Explicação:

• Restrição 1:

1) A função f(x) deve ser definida no ponto estudado;

• Restrição 2:

2) Os limites laterais devem ser iguais, ou seja, o limite bilateral deve existir;

• Restrição 3:

3) A função f(x) deve possuir o mesmo valor do limite bilateral.

Vamos começar os cálculos de fato.

• Todas as funções que possuem o sinal de "≥ ou ≤", serão definidas no ponto em que possuem esse tal sinal, ou seja:

$f(0) = \frac{t {}^{2} - 4}{t + 2} \longleftrightarrow \frac{0 {}^{2} - 4 }{0 + 2} \longleftrightarrow \frac{ - 4}{2} \longleftrightarrow - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ f(2) = at {}^{2} - bt + 3\longleftrightarrow a.2 {}^{2} - b.2 + 3\longleftrightarrow4a - 2b + 3 \\ \\ f(3) = 2t + a - b\longleftrightarrow2.3 + a - b\longleftrightarrow a - b + 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Vamos calcular os limites laterais, primeiramente para "t" tendendo a 2 pela esquerda e pela direita.

$\lim_{t\to 2 {}^{ + } }f(x) = \lim_{t\to2 {}^{ - } }f(x)$

Quando "t" tende a 2 pela direita, quer dizer que o "t" tende para valores maiores que 2, então devemos usar a função at² - bt + 3, já quando "t" tende por 2 pela esquerda, temos ele tendendo a 2 por valores menores que 2, isto é, devemos usar a relação t² - 4 / t + 2:

$\lim_{t\to 2 {}^{ + } }at {}^{2} - bt + 3 = \lim_{t\to 2 {}^{ - } } \frac{t {}^{2} - 4}{t + 2}$

Resolvendo esses limites, temos:

$a.2 {}^{2} - b.2 + 3 = \frac{(t + 2).(t - 2)}{t + 2} \\ \\ 4a - 2b + 3 = 2 - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 4a - 2b + 3 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 4a - 2b = - 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Vamos fazer a mesma coisa para "t" tendendo para 3, então:

$\lim_{t\to 3 {}^{ - } } f(x)= \lim_{t\to 3 {}^{ - } }f(x)$

Quando "t" tende para 3 à direita, temos ele se aproximando de 3 por valores maiores que ele, então usaremos 2t - a - b, já quando tem-se "t" tendendo a esquerda de 3, o limite se aproxima por valores menores que 3, então vamos usar a expressão at² - bt + 3, logo:

$\lim_{t\to 3 {}^{ + } } 2t + a - b= \lim_{t\to 3 {}^{ - } }a {t}^{2} - bt + 3$

Resolvendo o limite:

$2.3 + a - b = a.3 {}^{2} - b.3 + 3 \\ \\ a - b + 6 = 9a - 3b + 3 \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 9a - a - 3b + b = 6 - 3 \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 8a - 2b = 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Vamos montar um sistema com essas duas equações que obtemos:

$\begin{cases} 4a - 2b = - 3.( - 1) \\ 8a - 2b = 3\end{cases}$

Multiplicando a primeira equação por -1:

$\begin{cases} - 4a + 2b = 3 \\ 8a - 2b = 3\end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 8a - 4a + 2b - 2b = 3 + 3 \: \: \: \: \: \: \: \\ \\4a = 6\longleftrightarrow a = \frac{6}{4} \longleftrightarrow a = \frac{3}{2}$

Substituindo o valor de "a" em uma das funções:

$8a - 2b = 3\longleftrightarrow8. \frac{3}{2} - 2b = 3\longleftrightarrow12 - 2b = 3 \\ \\ - 2b = 3 - 12\longleftrightarrow - 2b = - 9\longleftrightarrow b = \frac{9}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado