Question

Alguém pode me ajudar nessa questão

Answer 1

Calcular a integral de linha

$I=\displaystyle\int\limits_{\gamma}{(yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz)}$

sendo $\gamma$ a curva cujas equações paramétricas são

$\gamma:~\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{l} x=a \cos t\\ y=a\,\mathrm{sen\,} t\\ z=kt \end{array} \right.~~&~~0\leq t \leq 2\pi \end{array}$

($\gamma$ é uma hélice circular...)

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Aqui temos a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva. O campo vetorial em questão é

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y,\;z)=\left(yz,\;xz,\;xy \right )$


O domínio do campo é todo o $\mathbb{R}^{3},$ que é um domínio simplesmente conexo

(o domínio não tem "furos"/singularidades).
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Verificando o rotacional de $\overrightarrow{\mathbf{F}}:$

$\mathrm{rot\,}\overrightarrow{\mathbf{F}}=\det\left[ \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \\ \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\ \\ F_{x}&F_{y}&F_{z} \end{array} \right ]\\ \\ \\ \\ \mathrm{rot\,}\overrightarrow{\mathbf{F}}=\det\left[ \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \\ \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\ \\ yz&xz&xy \end{array} \right ]$

$=\left(\dfrac{\partial}{\partial y}(xy)-\dfrac{\partial}{\partial z}(xz) \right )\!\!\overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(\dfrac{\partial}{\partial z}(yz)-\dfrac{\partial}{\partial x}(xy) \right )\!\!\overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(xz)-\dfrac{\partial}{\partial y}(yz) \right )\!\!\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \\ \\ =(x-x)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(y-y)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(z-z)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \\ =0\overrightarrow{\mathbf{i}}+0\overrightarrow{\mathbf{j}}+0\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \\ =\overrightarrow{\mathbf{0}}$


Como $\mathrm{rot\,}\overrightarrow{\mathbf{F}}=\overrightarrow{\mathbf{0}}$ e o domínio do campo é simplesmente conexo, temos que

$\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é um campo conservativo.

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Portanto, existe uma função potencial $\varphi(x,\;y,\;z)$ para $\overrightarrow{\mathbf{F}},$ tal que

$\overrightarrow{\mathbf{F}}=\nabla\varphi$

(o campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é o gradiente da função potencial $\varphi$)

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Encontrando a função potencial:

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y,\;z)=\nabla\varphi(x,\;y,\;z)\\ \\ \\ (yz,\;xz,\;xy)=\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x},\;\dfrac{\partial \varphi}{\partial y},\;\dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right )$


Igualando as coordenadas dos vetores dos dois lados, devemos ter

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=yz~\Rightarrow~\varphi(x,\;y,\;z)=xyz+g(y,\;z)~~~~~~\mathbf{(i)}$

sendo $g(y,\;z)$ uma função que depende apenas de $y$ e $z.$


De $\mathbf{(i)},$ derivando $\varphi$ em relação a $y,$ temos

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=xz+\dfrac{\partial g}{\partial y}(y,\;z)$


Comparando a expressão acima com a segunda coordenada do vetor gradiente, concluímos que [/tex]g[/tex] é uma função que só depende de $z:$

$\dfrac{\partial g}{\partial y}(y,\;z)=0~\Rightarrow~g(y,\;z)=g(z)$


Voltando a $\mathbf{(i)},$ devemos ter então,

$\varphi(x,\;y,\;z)=xyz+g(z)~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Em $\mathbf{(ii)},$ derivando em relação a $z,$ temos

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial z}=xy+\dfrac{dg}{dz}(z)$


Comparando a expressão acima com a terceira coordenada do vetor gradiente, concluímos que

$\dfrac{dg}{dz}(z)=0~\Rightarrow~g(z)=C$

$g$ é uma função constante.

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Portanto, a função potencial para o campo é

$\varphi(x,\;y,\;z)=xyz+C$
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Tomemos $\varphi(x,\;y,\;z)=xyz$ como função potencial.para $\overrightarrow{\mathbf{F}}.$ 

Como $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é um campo conservativo, o valor da integral de linha não depende da curva, só dos pontos final e inicial:

$I=\displaystyle\int\limits_{\gamma}{(yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz)}=\varphi(\gamma(2\pi))-\varphi(\gamma(0))\\ \\ \\ =\varphi(a\cos 2\pi,\;a\,\mathrm{sen\,}2\pi,\;k\cdot 2\pi)-\varphi(a\cos 0,\;a\,\mathrm{sen\,}0,\;k\cdot 0)\\ \\ =\varphi(a\cos 2\pi,\;a\,\mathrm{sen\,}2\pi,\;k\cdot 2\pi)-\varphi(a\cos 0,\;a\,\mathrm{sen\,}0,\;k\cdot 0)\\ \\ =\varphi(a,\;0,\;2k\pi)-\varphi(a,\;0,\;0)\\ \\ =a\cdot 0\cdot 2\pi-a\cdot 0\cdot 0\\ \\ =0$