Question

Alguém pode me ajudar nessa questão?

Answer 1

Del teorema de Green obtenemos la siguiente fórmula para hallar el área encerrada por una curva cerrada orientada positivamente

                            $\displaystyle A=\dfrac{1}{2}\oint_{\gamma^+}xdy-ydx$

Entonces tenemos que parametrizar cada curva [Haga la gráfica]

1) Parametrizando $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$

$\gamma_1^+=\begin{cases} x=at^2\\ y=a(1-t)^2 \end{cases}$

2) Parametrizando $x+y=a$

$\gamma_2^+=\begin{cases} x=a-at\\ y=at \end{cases}$

Ambos casos con $t\in[0,1]$

3) Cálculo del área

$\displaystyle 2A=\oint_{\gamma_1^+}xdy-ydx+\oint_{\gamma_2^+}xdy-ydx\\ \\ \\ 2A=\oint_{\gamma_1^+}(at^2)\,d[a(1-t)^2]-[a(1-t)^2]\,d(at^2)+\\ \\ +\oint_{\gamma_2^+}(a-at)\,d(at)-(at)\,d(a-at)\\ \\ \\ 2A=\int_{0}^1-2a^2t^2(1-t)\,dt-2a^2t(1-t)^2\,dt+\\ \\ +\int_{0}^1a(a-at)\,dt+a^2t\,dt\\ \\ \\ 2A=\int_{0}^1a^2(2t^2-2t+1)\,dt\\ \\ \\ 2A=\dfrac{2a^2}{3}\\ \\ \\ \boxed{A=\dfrac{a^2}{3}}$