Alguém pode me ajudar, não sei como resolver essa questão sobre cônicas:
Apresente a dedução da equação da hipérbole centrada na origem a partir da definição da hipérbole e de ideias similares a apresentadas em circunferência.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica.
Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados.
Hipérbole com focos sobre o eixo x.
Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Elementos e propriedades da hipérbole:
2c → é a distância focal.
c2 = a2 + b2 → relação fundamental.
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole.
2a → é a medida do eixo real.
2b → é a medida do eixo imaginário.
c/a → é a excentricidade
Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades.
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que:
2a = 16 → a = 8
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:
c2 = a2 + b2
102 = 82 + b2
b2 = 100 – 64
b2 = 36
b = 6
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:
Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:
