Matemática, perguntado por tpseletricista, 1 ano atrás

Alguém pode me ajudar na solução dessa questão de calculo?

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por carlosmath
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El sólido se representa mediante el siguiente conjunto
             S=\{(x,y,z):\,x^2+y^2\leq 1\;,\;0\leq z\leq 3-x-y\}

Para ello se necesita del siguiente cambio de variable
                       x=r\cos\theta\,,\, y=r\sin\theta\,,\, z=h

También necesitaremos del valor absoluto del jacobiano de la transformación (r,\theta,h)\to (x,y,z), es decir

           J(r,\theta,h)=\left|\det\left[\begin{matrix}
x_r&x_\theta&x_h\\
y_r&y_\theta&y_h\\
z_r&z_\theta&z_h
\end{matrix}\right]\right|\\ \\ \\
J(r,\theta,h)=|r|

donde el nuevo conjunto de integración será

  \Omega=\{(r,\theta,h):\, 0\ \textless \ r\leq 1\,,\, 0\ \textless \ \theta \leq 2\pi\,,\, 0\ \textless \ h\ \textless \ 3-r(\cos\theta+\sin\theta)\}

Por fin hallemos el volumen del sólido

              \displaystyle
V=\iiint\limits_{\Omega}r\,d\Omega\\ \\ \\
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3-r(\cos\theta+\sin\theta)}r\,dh\,d\theta\,dr\\ \\ \\
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}3r-r^2(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta\,dr\\ \\ \\
V=\int_{0}^{1}6\pi r\,dr\\ \\ \\
\boxed{V= 3\pi}

tpseletricista: obrigado amigo!
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