Question

Alguém pode me ajudar na resolução da questão abaixo?

Uma companhia de televisão a cabo estima que com x milhares de assinaturas, o faturamento e o custo mensal são: R(X) = 61,5 X - 0,25 X² e C(X) - 2.268 + 12x . Encontre o número de assinantes para o qual o faturamento é igual ao custo, ou seja, o ponto de lucro zero.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ana Cecília, como você já informou a forma exata de escrita da função custo, então vamos tentar responder.
Pede-se para encontrar o número de assinantes para o qual o faturamento é igual ao custo, ou seja, o ponto de lucro zero (quando não há nem lucro nem prejuízo).
Note que isto vai ocorrer quando a função receita for igual à função custo.
Então deveremos ter isto:

R(x) = C(x) ----- substituindo-se R(x) e C(x) por suas representações, temos:

61,5x - 0,25x² = 2.268 + 12x ---- ou, o que é a mesma coisa:
- 0,25x² + 61,5x = 12x + 2.268 ------ passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos com:

- 0,25x² + 61,5x  - 12x - 2.268 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
- 0,25x² + 49,5x - 2.268 = 0 
- 0,25x² + 49,5x - 2.268 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "0,25", com o que ficaremos assim:

- x² + 198x - 9.072 = 0 ------ se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 72 e x'' = 126 <--- Esta é a resposta. Ou seja se o número de assinantes for de "72" ou for de "126", o faturamento da empresa será exatamente igual ao seu custo.

Note que quando você substitui o "x" por "72" ou por "126" nas funções receita e custo vai encontrar o mesmo resultado. Veja:

Para x = 72 na função receita e custo, teremos:

R(72) = - 0,25*72² + 61,5*72
R(72) = - 0,25*5.184 + 4.428
R(72) = - 1.296 + 4.428 = 3.132

C(72) = 12*72 + 2.268
C(72) = 864 + 2.268 = 3.132

e

Para x = 126 nas funções receita e custo, teremos:

R(126) = - 0,25*126² + 61,5*126
R(126) = - 0,25* 15.876 + 7.749
R(126) = - 3.969 + 7.749 = 3.780

C(126) = 12*126 + 2.268
C(126) = 1.512 + 2.268 = 3.780

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.