Question

Alguém pode me ajudar na questão 20

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Answer 1

Vamos convencionar o eixo de coordenadas como:

para a direita ou para cima é positivo;
para a esquerda ou para baixo é negativo.

As coordenadas da carga $q_{1}$ são $\left(0,\,+0,170\right)$;

As coordenadas da carga $q_{2}$ são $\left(0,\,-0,170\right)$;

As coordenadas da carga $q_{3}$ são $\left(x,\,0)$, onde $0\leq x \leq 5,0$ (metros)

Os valores de comprimento estão todos dados em metros.


Devemos decompor o vetor força resultante sobre a carga $3$ em suas componentes $y$ e $x$.


Como as cargas $1$ e $2$ têm o mesmo valor e são equidistantes da carga $3$, as componentes $y$ das forças que as cargas $1$ e $2$ exercem sobre a carga $3$ se anulam:

$F_{23y}=-F_{13y}\\ \\ \boxed{F_{13y}+F_{23y}=0}$


Então, nos resta trabalhar com as componentes horizontais das forças sobre a carga $3$.


Todas as cargas são positivas, então as forças são de repulsão:

$\bullet\;\;$ a componente horizontal da força de $1$ em $3$, em função da posição $x$ da carga $q_{3}$ é

$F_{13x}=F_{13}\cos \theta\\ \\ F_{13x}=\dfrac{ k\cdot q_{1}q_{3}}{x^{2}+0,17^{2}}\cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+0,17^{2}}}\\ \\ \boxed{F_{13x}=k\cdot q_{1}q_{3}\cdot \dfrac{x}{\left(x^{2}+0,17^{2}\right)^{3/2}}}$


$\bullet\;\;$ a componente horizontal da força de $2$ em $3$, em função da posição $x$ da carga $q_{3}$ é

$F_{23x}=F_{23}\cos \theta\\ \\ F_{23x}=\dfrac{ k\cdot q_{2}q_{3}}{x^{2}+0,17^{2}}\cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+0,17^{2}}}\\ \\ \boxed{F_{23x}=k\cdot q_{2}q_{3}\cdot \dfrac{x}{\left(x^{2}+0,17^{2}\right)^{3/2}}}$


Como as duas forças $F_{13x}$ e $F_{23x}$ têm o mesmo sentido, e então a força resultante na carga $3$ é uma força horizontal, que é

$F_{3x}=F_{13x}+F_{23x}\\ \\ F_{3x}=k\cdot q_{1}q_{3}\cdot \dfrac{x}{\left(x^{2}+0,17^{2}\right)^{3/2}}+k\cdot q_{2}q_{3}\cdot \dfrac{x}{\left(x^{2}+0,17^{2}\right)^{3/2}}$


Chamando as cargas, $q_{1}$ e $q_{2}$ de $q$, já que elas são iguais, temos

$F_{3x}=F_{13x}+F_{23x}\\ \\ F_{3x}=k\cdot q\cdot q_{3}\cdot \dfrac{x}{\left(x^{2}+0,17^{2}\right)^{3/2}}+k\cdot q\cdot q_{3}\cdot \dfrac{x}{\left(x^{2}+0,17^{2}\right)^{3/2}}\\ \\ \boxed{F_{3x}=2kqq_{3}\cdot \dfrac{x}{\left(x^{2}+0,17^{2}\right)^{3/2}}}$

onde $0 \leq x \leq 5,0$ (metros).


Basta encontar os valores máximo e mínimo da função acima.


Derivando em relação a $x$,a expressão da força resultante, temos

$\dfrac{d}{dx}\,F_{3x}=2kqq_{3}\cdot\dfrac{0,17^{2}-2x^{2}}{\left(x^{2}+0,17^{2} \right )^{5/2}}$


Igualando a zero a expressão acima, encontramos que o valor para a força máxima é quando se tem

$\boxed{x=\dfrac{0,17}{\sqrt{2}}\text{ m}}$


Então o valor máximo é

$F_{\text{m\'{a}x}}=2\cdot (9 \cdot 10^{9})\left(3,20\cdot 10^{-19} \right )(6,40\cdot 10^{-19})\cdot \dfrac{\frac{0,17}{\sqrt{2}}}{\left(\left(\frac{0,17}{\sqrt{2}} \right )^{2}+0,17^{2}\right)^{3/2}}\\ \\ \boxed{F_{\text{m\'{a}x}}=4,91 \cdot 10^{-26}\text{ N}}$


Quando $x=0$, a força horizontal sobre a carga $q_{3}$ é nula, logo, o valor mínimo é quando $x=0$:

$\boxed{F_{\text{m\'{i}n}}=0}$