Question

Alguém pode me ajudar? Já fiz e refiz várias vezes e não consigo!

C:{x E IR/ -4x > -x^2 + c} encontre o valor de C pertencente IR, tal que o conjunto solução é ]- ∞; - 3[ U ] 7; + ∞ [.

Answer 1

Para que equação quadrática pertença aos reais o discriminante tem que maior ou igual a 0 :

$\Delta \geq 0$

Temos :

$-4\text x > \text x^2+\text c$

$-\text x^2+4\text x +\text c< 0$

analisando o Delta :

$\Delta \geq 0$

$4^2-4.(-1).\text c \geq 0$

$16 + 4.\text c \geq 0$

$4.\text c \geq - 16$

$\boxed{\text c \geq -4 }$

Então temos a equação quadrática e temos a restrição para c :

$-\text x^2+4\text x +\text c< 0 \ \ ,\ \text{com c }\geq -4$

isso é uma parábola com concavidade voltada para baixo porque a = -1

Se a concavidade é voltada para baixo e queremos os valores menores que 0, basta pegar os números que não estão entre as raízes.

E a também questão diz que o conjunto solução é :

$]-\infty \ ,\ -3\ [ \ \ \text U \ \ ]\ 7 \ , \ +\infty \ [$

E sabemos que uma equação quadrática pode ser escrita na forma :

$\text a.(\text x-\text x_1)(\text x-\text x_2)$

Então as raízes são $\text x_1 = -3 \ \text e \ \text x_2 = 7$  e a = -1.

Substituindo :

$-1(\text x-(-3))(\text x-7)<0$

$-1(\text x+3)(\text x-7) < 0$

$-1(\text x^2 -7\text x + 3\text x -21) < 0$

$-1(\text x^2 -4\text x -21)<0$

$-\text x^2+4\text x + 21 < 0$

Visto que : 21 é maior que -4, e o conjunto solução é válido.

Portanto :

$\huge\boxed{\text c = 21}\checkmark$