Question

Alguém pode me ajudar explicando como se resolve a questão número 26

Answer 1

Primeiro, colocaremos ambos os lados como potências de 2. Começando com o lado esquerdo:

$8^{ax^2+bx+c}=(2^3)^{ax^2+bx+c}=2^{(3*(ax^2+bx+c))}=2^{3ax^2+3bx+3c}.$

Agora para o lado direito:

$4^{3x+5}\cdot2^{5x^2-x+8}=(2^2)^{3x+5}\cdot2^{5x^2-x+8}=2^{2*(3x+5)}\cdot2^{5x^2-x+8}=\\ \\=2^{6x+10}\cdot2^{5x^2-x+8}=2^{(6x+10)+(5x^2-x+8)}=2^{5x^2+5x+18}.$

Assim, podemos escrever nossa condição inicial como

$2^{3ax^2+3bx+3c}=2^{5x^2+5x+18}.$

Igualando os expoentes: 

$3ax^2+3bx+3c=5x^2+5x+18.$

Como a igualdade deve valer para qualquer valor de $x$ (ou seja, infinitos valores), concluimos que ambos os polinômios são idênticos, e portanto têm os mesmos coeficientes:

$\begin{cases} 3a=5 \\ 3b=5 \\ 3c=18 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=\frac{5}{3} \\ b=\frac{5}{3} \\ c=6 \end{cases}\Rightarrow a+b+c=\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+6=\frac{5+5+18}{3} \\ \\ \\ \Rightarrow\boxed{a+b+c=\frac{28}{3}}$