Question

Alguém pode me ajudar?

Estou estudando cálculo 1 na faculdade e necessito de ajuda nessa questão... Se puderem explicar o porquê da resposta..

Answer 1

Lim sen (1/x)
x-->0

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Teste de divergência:          
                 
Se existem duas sequencias
∞           ∞         
∑  xn  e ∑  yn
n=1       n=1

xn ≠ c   e yn ≠ c

lim xn = lim yn =c

lim f(xn) ≠ lim f(yn)

Então lim f(x) não existe
           x-->c

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Fazendo x=1/2πn
lim (sen (1/x)) = lim (sen(1/(1/2πn))) =0
x-->0                n-->0

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Fazendo x=2/(π(4n+1)

lim (sen(1/x)) = lim (sen (1/(2/π(4n+1))) =1
x-->0            n-->0

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Portanto Lim  sen (1/x)  é divergente quando x-->0
              x-->0

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B)

lim x sen (1/x)
x-->0

Aplicar o Teorema do confronto

-1 ≤ sen (1/x) ≤ 1

lim x*(-1)  ≤  lim  x sen (1/x) ≤  lim x*1
x-->0            x-->0                    x-->0

lim -x = 0
x-->0

lim x = 0
x-->0

Pelo teorema do confronto
lim x sen (1/x) = 0
x-->0

Answer 2

Olá!
 
    Note que, no primeiro limite, fazendo   $x=\dfrac{2}{\pi+2n}$  temos

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin\left({\dfrac{1}{x}\right)=\lim_{n\to 0}\sin\left(\frac{1}{\frac{2}{(\pi+2n)}}}\right)=1$

e fazendo    $x=\frac{1}{n\pi},$   temos


$\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)=\lim_{n\to 0}\sin\left(\dfrac{1}{\frac{1}{n\pi}}\right) = 0.$


    Ou seja, os valores dos limites da função   $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$   não são iguais.


Logo, tal limite não existe.


     Entretanto, lembrando-se do Teorema que diz 

"O limite de uma função limitada multiplicada por uma outra função que se anula, é nulo"

podemos fazer

$\displaystyle \lim_{x\to 0}x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0,$


pois a função   $g(x)=x$   tem limite zero, quando x vai pra zero, e a função do seno é limitada.




Bons estudos!