Question

Alguém pode me ajudar, estou com dificuldade no assunto de números complexos

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\frac{4i^{720}+2i^{1592}-4i^{873}+6i^{440}}{3i^{530}-2i^{592}+4i^{395}+8i^{53}    }$

Vamos transformar os expoentes em um produto, sendo um dos fatores o 4.

Vamos fazer a divisão dos expoentes por 4, para encontrarmos o outro produto, separadamente.

    720 → 720 ÷ 4 = 180,  daí: 4 · 180

    1592 → 1592 ÷ 4 = 398,  daí: 4 · 398

    873 → 873 ÷ 4 = 218 e resto 1,  daí: 4 · 398 + 1 (i)

    440 → 440 ÷ 4 = 110,  daí: 4 · 110

    530 → 530 ÷ 4 = 132 e resto 2,  daí: 4 · 132 + 2 (i²)

    592 → 592 ÷ 4 = 148,  daí: 4 · 148

    395 → 395 ÷ 4 = 98 e resto 3,  daí: 4 · 98 + 3 (i³)

    53 → 53 ÷ 4 = 13 e resto 1,  daí: 4 · 13 + 1 (i)

Substituindo, fica

    $\frac{4.(i^{4})^{180}+2.(i^{4})^{398}-4.(i^{4})^{218}.i+6.(i^{4})^{110}}{3.(i^{4})^{132}.i^{2}-2.(i^{4})^{148}+4.(i^{4})^{98}.i^{3}+8.(i^{4})^{13}.i}$

   

Sendo i⁴ = 1, i² = -1 e i³ = i² · i, temos

    $\frac{4.1^{180}+2.1^{398}-4.1^{398}.i+6.1^{110}}{3.1^{132}.(-1)-2.1^{148}+4.1^{98}.i^{2}.i+8.1^{13}.i}$

    $\frac{4.1+2.1-4.1.i+6.1}{3.1.(-1)-2.1+4.1.(-1).i+8.1.i}$

    $\frac{4+2-4i+6}{-3-2-4i+8i}$

    $\frac{4+2+6-4i}{-5+4i}=\frac{12-4i}{-5+4i}$

Multiplique a fração pelo conjugado -5 - 4i

    $\frac{12-4i}{-5+4i}.\frac{-5-4i}{-5-4i}$

    $\frac{(12-4i).(-5-4i)}{(-5+4i).(-5-4i)}$

    $\frac{12.(-5)+12.(-4i)+(-4i).(-5)+(-4i).(-4i)}{-5.(-5)+(-5).(-4i)+4i.(-5)+4i.(-4i)}$

    $\frac{-60-48i+20i+16i^{2}}{25+20i-20i-16i^{2}}$

Sabendo que i² = -1, temos

    $\frac{-60+(-48+20)i+16.(-1)}{25+(20-20)i-16.(-1)}$

    $\frac{-60-28i-16}{25+16}=\frac{-76-28i}{41}$