Question

Alguém pode me ajudar?

Determine a natureza do triângulo cuja medidas dos lados são inversamente proporcionais a 4,5 e 10

Answer 1

Somando as razões inversas:

$S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}\\\\\\ S=\dfrac{5+4+2}{20}\\\\\\ S=\dfrac{11}{20}$


Por conveniência, vamos tomar o seguinte parâmetro $P$ como referência

$P=\mathrm{mmc}(4,\,5,\,10)\\\\P=20$

( P não é necessariamente o perímetro do triângulo, é apenas um parâmetro para facilitar os cálculos das medidas dos lados )

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Calculando o lado correspondente aos pesos 4, 5 e 10:

$\bullet\;\;$ Lado inversamente proporcional a 4:

$a=\dfrac{1}{4}\cdot P\\\\\\ a=\dfrac{1}{4}\cdot 20\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}a=5 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Lado inversamente proporcional a 5:

$b=\dfrac{1}{5}\cdot P\\\\\\b=\dfrac{1}{5}\cdot 20\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}b=4 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Lado inversamente proporcional a 10:

$c=\dfrac{1}{10}\cdot P\\\\\\ c=\dfrac{1}{10}\cdot 20\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}c=2 \end{array}}$


___________

O perímetro deste triângulo é

5 + 4 + 2 = 11

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Como $a\ne b,\,b\ne c,\,\text{ e }\,c\ne a,$ trata-se de um triângulo escaleno.


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Para verificar se é acutângulo, obtusângulo ou retângulo, devemos comparar:

"A soma dos quadrados dos lados menores" ( $b$ e $c$ )

com

"O quadrado do lado maior" ( $a$ )

$\bullet\;\;b^2+c^2\\\\ =2^2+4^2\\\\ =4+16\\\\ =20\\\\\\ \bullet\;\;a^2=5^2\\\\ a^2=25$


Como

$20<25\\\\ b^2+c^2<a^2$

concluímos que trata-se de um triângulo acutângulo.


Bons estudos! :-)