Question

Alguém pode me ajudar?
Como resolvo:

log X² - 3 log X + 2 = 0

Answer 1

log X² - 3 log X + 2 = 0
2 log X - 3 log X + 2 = 0
- log X + 2 = 0
- log X = -2
 log X = 2
X= 100

Answer 2

Após os cálculos realizados e analisado concluímos  o valor é S = { 10, 100 }.

As equações logarítmicas são equações que apresentam termos envolvendo logaritmos.

Sejam a, b ∈ R*₊ e a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado para que a potência obtida de base a seja igual a b.

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ \log_a \: b = x \Leftrightarrow a^x = b } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \mathsf{ ( \log\: x )^2 - 3 \log\: x +2 = 0 }$

Solução:

$\Large \displaystyle \mathsf{ ( \log\: x )^2 - 3 \log\: x +2 = 0 }$

Devemos sempre analisar a condição de existência dos logaritmos x > 0;

Fazendo log x = y, podemos escrever:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y^2 - 3 y +2 = 0 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \Delta = b^{2} -4ac } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \Delta =9 - 8 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \Delta = 1 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,(-3) \pm \sqrt{1 } }{2 \cdot 1}} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{3 \pm 1}{2} \Rightarrow\begin{cases} \sf y_1 = &\sf \dfrac{3 + 1}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \\\\ \sf y_2 = &\sf \dfrac{3 - 1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\end{cases} } }$

Para y = 2, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log\: x = y \Rightarrow \log\: x = 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x = 10^2 \Rightarrow x = 100 }$

Para y = 1, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log\: x = y \Rightarrow \log\: x =1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x = 10^1 \Rightarrow x = 10 }$

Como os dois valore de x encontrados satisfazem a restrição, temos:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = \{ 10, \: 100\} }$

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