Question

Alguém pode me ajudar com uma questão de cálculo 1, é sobre derivada? Por favor, é urgente ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para Utilizar a definição de derivada temos que lembra dela:

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Então vamos aplicá-la em cada alternativa:

a) f(x) = x² + x

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(x+h)^{2} - (x+h) - (x^{2}+x)}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{x^{2} + 2hx + h^{2} + x +h - x^{2}-x)}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{2hx + h^{2}+ h)}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{h(2x + h+ 1)}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(2x + h+ 1)}{1} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \ (2x + h+ 1) \\f'(x) = 2x + 1$

b) f(x) = x² + 1

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(x+h)^{2} + 1 - (x^{2}+1)}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{x^{2} + 2hx + h^{2} + 1 - x^{2}-1)}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{2hx + h^{2})}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{h(2x + h)}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(2x + h)}{1} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \ (2x + h) \\f'(x) = 2x$

c) f(x) = x³

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(x+h)^{3} - (x^{3})}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{x^{3} + 3hx^{2} + 3h^{2}x + h^{3} - x^{3}}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{3hx^{2} + 3h^{2}x + h^{3}}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{h(3x^{2} + 3hx+h^{2})}{h} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(3x^{2} + 3hx+h^{2})}{1} \\f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \ (3x^{2} + 3hx+h^{2}) \\f'(x) = 3x^{2}$