Question

Alguém pode me ajudar com o exercício 55?

Answer 1

$a_1.q^5=-320\\ a_1.q^2=40\\ Dividindo \ as \ equacoes:\\ q^3=-8\\ q=-2$

Determinando a1:

$a_1.(-2)^2=40\\ a_1=\frac{40}{4}=10$

Determinando a soma:

$S_8=10.\frac{(-2)^8-1}{-2-1}=10.\frac{256-1}{-3}=\frac{2550}{-3}=-850$

Answer 2

Resposta:

Fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA

Dada a PA (a1, a2, a3, …, an – 2, an – 1, an), que possui n termos, observe que o primeiro termo é a1, o segundo é a2, …, o penúltimo é an – 1 e o último é an.

Representando a soma desses termos por Sn, teremos a seguinte expressão:

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo fique abaixo do segundo e assim por diante.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1

Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da mesma soma que Gauss fez.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

+ Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + … + (an – 2 + a3) + (an – 1 + a2) + (an + a1)

Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos do primeiro termo somado ao último. Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a1 + an). Observe:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui exatamente os n termos que a PA possui. A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de uma mesma PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós duplicamos cada termo antes de somá-los. Desse modo, podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial de termos. Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

2Sn = n(a1 + an)

Sn = n(a1 + an)

2

*n é o número de termos; a1 e an são o primeiro e o último termo, respectivamente.

Exemplo

Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), calcule a soma dos seus 100 primeiros termos.

Para calcular essa soma, é necessário conhecer o último termo dessa PA. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral de uma PA.

an = a1 + (n – 1)r

a100 = 2 + (100 – 1)2

a100 = 2 + (99)2

a100 = 2 + 198

a100 = 200

Agora, usando a fórmula para soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos:

S100 = 100(2 + 200)

2

S100 = 100(202)

2

S100 = 20200

2

S100 = 10100