Question

Alguém pode me ajudar com esta questão? Ofereço 50 pontos por sua resolução com o cálculo devido.
Grato desde já.

Answer 1

Olá!
 
    Note que, efetuando a divisão, temos


$\displaystyle\int\dfrac{x^3+x}{x-1}dx=\int(x^2+x+2)+\dfrac{2}{x-1}dx = \\ \\ \\ = \int x^2+x+2\;dx+\int \dfrac{2}{x-1}dx =\\ \\ \\ \int x^2\;dx + \int x\;dx+\int 2\;dx + 2\int \dfrac{1}{x-1}dx =\\ \\ \\= \dfrac{x^3}{3}+ \dfrac{x^2}{2}+2x+2\ln{|(x-1)|} + k,\;\;k\in\mathbb{R}.$

   
    Portanto, não tem nas alternativas, mas creio que a resposta (B) esteja com erro de digitação, pois dentro do ln é só |x-1|.



Bons estudos!

Answer 2

Você começa com uma divisão de polinômios, então fica:
∫ x²+x+2+2/(x-1) dx
Então você aplica a regra da soma:
∫x² dx + ∫x dx + ∫2 dx + ∫ 2/(x-1) dx
Como a maioria aí é polinomial, a integral é x^n+1/n+1, menos o último, que é por substituição:
∫2/(x-1) dx
Você tira a constante de dentro da integral, logo:
2∫1/(x-1) dx
substitui (x-1) por 'u':
2∫1/u dx
Daí você lembra que a antiderivada de 1/x é ln x, então:
=2 ln|u|
Então substitui o 'u' pelo que você substituiu aquela hora:
=2ln |x-1|

Então o resultado seria:
=x³/3 + x²/2 + 2x + 2ln |x-1| + k

Como não tem a alternativa correta, acho que teve erro na digitação das alternativas.