Question

Alguém pode me ajudar com esse exercício de funções trigonométricas, por favor.

Answer 1

Vamos usar a função em sua forma padrão para descobrirmos o período e a imagem, a função padrão é dada por:

$\star \: \sf f(x) = a + b. \sin(cx + d) \: \star$

É a mesma função dada pela questão, só que sem atribuição de valores.

A função dada pela questão é:

$\star \: \sf f(x) = 2 - 3 \sin[\pi( \frac{2x}{3} + 3) ] \star \: \\ \sf f(x) = 2 - 3\sin(\frac{2\pi x}{3} + 3\pi)$

E para encontrar a imagem vamos usar essa "fórmula":

$\star \: \sf Im = [a-b, a+b] ou [a + b, a - b] \: \star$

Tendo feito isso, vamos encontrar os termos a, b e c, o termo "d" não importa muito.

Note que o termo "a" é o número que soma a função, ou seja:

$\sf a = 2$

O termo "b" é o número que multiplica o seno, ou seja:

$\sf b = - 3$

E o termo em "c" é o número que multiplica o "x", ou seja:

$\sf c =\frac{2\pi}{3}$

Substituindo nas fórmulas:

• Imagem:

$\sf Im = [2 - ( - 3)), 2 + ( - 3)] \\ \sf Im = [5, - 1]$

Note que deu um intervalo meio errado, pois normalmente o número menor vem na frente, para não deixar dessa forma, basta fazer uma troca da posição.

$\boxed{ \sf Im = [ - 1, 5]}$

Essa é a imagem.

• Período:

$\sf P = \frac{2\pi}{ |c| } \\ \\ \sf P = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{3}} \\ \\ \sf \sf P = \frac{\cancel{2\pi}}{1}.\frac{3}{\cancel{2\pi}}\\ \\ \sf\boxed{\sf P = 3}$

Espero ter ajudado