Question

Alguem pode me ajudar com essa questão?
Prove que a função f(x) é descontínua no ponto x = 2.

Answer 1

Temos a seguinte informação:

$f(x) = \begin{cases} \frac{(x + 3).(x - 2)}{x - 2} , \: \: se \: x \neq 2 \\ 3 , \: se \: x = 2 \end{cases}$

A questão pede para que provemos que a função f(x) é descontínua no ponto x = 2. Para realizar esse cálculo, devemos verificar a continuidade da mesma através das seguintes restrições:

$\begin{cases}f(x) \to definida \\ \lim_{x\to a^{+} } f(x)= \lim_{x\to a^{-}}f(x) \\ \lim_{x\to a^{} } f(x) = f(x)\end{cases}$

Partindo dessa informação, vamos para os cálculos:

• Restrição 1:

Quando "x" é igual a 2, a função possui o valor "3", ou seja, ela é sim definida nesse ponto:

$f(2) = 3$

• Restrição 2:

Os limites laterais devem ser iguais, para que o bilateral possa existir. Como sabemos, o limite é uma aproximação de um certo valor, então devemos usar a expressão referente a x ≠ 2, já que se formos usar a expressão quando x = 2, isso não irá se tratar de um limite.

$\lim_{x\to 2^{+} } \frac{(x + 3).(x - 2)}{(x - 2)} = \lim_{x\to 2^{-}} \frac{(x + 3).(x - 2)}{(x - 2)} \\ \\ \lim_{x\to 2^{+} } (x + 3)= \lim_{x\to 2^{-}}(x + 3) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 2 + 3 = 2 + 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 5 = 5 \to \exists\lim_{x\to 2^{} }f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Por fim, devemos ver se a função possui o mesmo valor do limite bilateral.

$f(2) = 3 \: \: e \: \: \lim_{x\to 2^{} }f(x) = 5 \\ \\ f(2) \neq \lim_{x\to 2^{} }f(x)$

Portanto podemos dizer que a função não é contínua no ponto em que "x" é igual a 2.