Question

Alguém pode me ajudar com essa questão de cálculo 1? (derivação implícita)

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

A)Para esses problemas iremos precisar conhecer a seguinte propriedade:

$\frac{df}{dx}=(\frac{df}{dy} )(\frac{dy}{dx} )$

Agora vamos derivar em relação a x os dois lados da equação:

$\frac{d}{dx}(e^{xy}) - \frac{d}{dx} (x^2e^y)+\frac{d}{dx} y = \frac{d}{dx} 1$

Vamos analisar cada derivada separadamente:

$\frac{d}{dx}(e^{xy})$

Para resolver essa derivada deveremos usar a regra da cadeia, que para esse caso pode ser escrita:

$\frac{d}{dx}(e^{xy} ) = (\frac{d}{du} e^u)\frac{d}{dx} u$

Onde u é igual a xy

Sabemos que:

$\frac{d}{du} e^u = e^u=e^{xy}$

Agora precisamos derivar $\frac{d}{dx} u$, utilizando que u é igual a xy termos:

$\frac{d}{dx} u=\frac{d}{dx}(xy)$

Como y depende de x não podemos apenas isola-lo na equação deveremos resolver o problema usando a regra do produto para diferenciação que nos diz que:

$\frac{d}{dx} (f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$

No nosso caso vamos chamar x de f(x) e y de g(x), agora vamos calcular suas derivadas para podermos resolver a derivada pela regra do produto. Para o caso da f(x) é simples:

$f'(x) = \frac{d}{dx} x =1$

Já para o caso da g(x) o caso é um pouco mais complexo, teremos que:

$g'(x)= \frac{d}{dx} y$

Dessa forma não conseguimos resolver essa derivada, pois não sabemos como y depende de x, mas podemos usar a propriedade apresentada no começo do problema para reescrever a equação:

$\frac{d}{dx}y = (\frac{d}{dy}y)(\frac{dy}{dx} ) \\\frac{d}{dx}y=\frac{dy}{dx}$

Agora aplicando a regra do produto teremos:

$\frac{d}{dx} xy = x\frac{d}{dx}(y)+ y\frac{d}{dx}(x) = x\frac{dy}{dx} +y$

Com isso resolvemos o termo que faltava da regra da cadeia e temos que:

$\frac{d}{dx} (e^{xy})=e^{xy}(x\frac{dy}{dx} +y)$

Agora vamos para o segundo termo:

$\frac{d}{dx}(x^2e^y)$

Precisamos resolver essa derivada pela regra do produto onde vamos chamar x^2 = f(x) e e^y = g(x), e com isso teremos que:

$\frac{d}{dx}(x^2e^y) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

Para resolver f'(x) é simples:

$f'(x) = \frac{d}{dx} x^2=2x$

Para resolver o g'(x) utilizaremos a propriedade apresentada no começo da resposta:

$g'(x) = \frac{d}{dx}(e^y) = \frac{d}{dy} (e^y)\frac{dy}{dx}=e^y\frac{dy}{dx}$

Substituindo os valores de f, f' g e g' na formula da regra do produto teremos que:

$\frac{d}{dx}(x^2e^y) = x^2( e^y\frac{dy}{dx} )+ e^y(2x)$

No terceiro termo temos:

$\frac{d}{dx}y$

No calculo do primeiro termo vimos que isso é igual à:

$\frac{d}{dx}y = \frac{dy}{dx}$

No último termo temos:

$\frac{d}{dx} (1)$

Como sabemos que a derivada de uma constante é igual a zero, esse termo sera igual a zero.

Substituindo os valores que encontramos pra cada termo na equação, e considerando que $\frac{dy}{dx}=y'$, termos:

$e^{xy}(xy'+y)-(x^2y'e^y+2xe^y) + y' = 0\\xy'e^{xy}+ye^{xy}-x^2y'e^y-2xe^y+y'=0\\y'(xe^{xy}-x^2e^y+1)+ye^{xy}-2xe^y=0\\y'(xe^{xy}-x^2e^y+1)=2xe^y-ye^{xy}\\y' = \frac{2xe^y-ye^{xy}}{xe^{xy}-x^2e^y+1}$

B) Agora que conhecemos y', sabemos que a reta tangente à curva no ponto P(1,1) será:

$y(x) = y'(1,1)x + a$

Quando x for igual a 1 y deverá ser igual a um dessa forma podemos encontrar o a:

$1 = y'(1,1) + a\\a = 1 - y'(1,1)$

Dessa forma a equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) será:

$y(x) = y'(1,1)x + 1 - y(1,1)\\y(x) = y'(1,1)(x-1)+1$

Agora para achar y'(1,1) basta substituir x e y por 1 na equação encontrada no item 1, dessa forma teremos:

$y'(1,1) = \frac{2(1)e^1-1e^{1(1)}}{1e^{1(1)}-1^2e^1+1} = \frac{2e - e}{e-e+1}=e$

Substituindo esse valor na equação da reta:

$y(x) = e(x-1)+1$

Na imagem abaixo podemos constatar que a reta que encontramos de fato é tangente a cursa descrita pela equação do problema: