Question

⚠️ Alguem pode me ajudar?

→CALCULAR A EQUAÇÃO DIFERENCIAL HOMOGENEA NA IMAGEN

OBS; PRECISO DOS CALCULOS

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+3y}{3x+y}$

Primeiro, divida o numerador e o denominador da fração à direita da igualdade por um fator $x,~x\neq0$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1+3\cdot\dfrac{y}{x}}{3+\dfrac{y}{x}}$

Faça uma substituição $u=\dfrac{y}{x}$. Diferencie ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y}{x}\right)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(u(x))=\dfrac{d}{du}(u(x))\cdot \dfrac{du}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função racional é calculada de acordo com a regra do quociente: $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2},~g(x)\neq0$.

Aplique a regra do quociente

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{\dfrac{d}{dx}(y)\cdot x-y\cdot \dfrac{d}{dx}(x)}{x^2}$

Aplique a regra da cadeia

$\dfrac{d}{du}(u)\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{\dfrac{d}{dy}(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}\cdot x-y\cdot \dfrac{d}{dx}(x)}{x^2}$

Aplique a regra da potência, some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1\cdot y^{1-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}\cdot x-y\cdot 1\cdot x^{1-1}}{x^2}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{x\cdot\dfrac{dy}{dx}-y}{x^2}$

Substituindo $y=u\cdot x$ e simplificando a fração por um fator $x$, temos:

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dx}-u}{x}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $x$ e some $u$

$\dfrac{dy}{dx}=x\cdot\dfrac{du}{dx}+u$

Substituindo estes resultados na equação diferencial, teremos:

$x\cdot \dfrac{du}{dx}+u=\dfrac{1+3u}{3+u}$

Subtraia $u$ em ambos os lados da igualdade e some as frações

$x\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1+3u}{3+u}-u\\\\\\\ x\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1+3u-(3+u)\cdot u}{3+u}\\\\\\\ x\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1+3u-3u-u^2}{3+u}\\\\\\\ x\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1-u^2}{3+u}$

Esta é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la da seguinte maneira:

$\left(\dfrac{3+u}{1-u^2}\right)\,du=\dfrac{1}{x}\,dx$

Integramos ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int\left(\dfrac{3+u}{1-u^2}\right)\,du=\int\dfrac{1}{x}\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,~C\in\mathbb{R}$ é imediata e um é caso particular da regra da potência.

Utilizamos a propriedade de decomposição em frações parciais no integrando à esquerda da igualdade

$\displaystyle{\int\left(\dfrac{1}{1+u}+\dfrac{2}{1-u}\right)\,du=\int\dfrac{1}{x}\,dx}$

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int\dfrac{1}{1+u}\,du+\int\dfrac{2}{1-u}\,du=\int\dfrac{1}{x}\,dx}$

Faça as substituições $1+u=r,~1-u=t$. Diferenciamos ambos os lados das igualdades em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(1+u)=\dfrac{d}{dx}(r)\\\\\\ \dfrac{d}{dx}(1-u)=\dfrac{d}{dx}(t)$

Calcule as derivadas, multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dx$ e isole $du$

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{dr}{dx}\\\\\\ -\dfrac{du}{dx}=\dfrac{dt}{dx}\\\\\\ du=dr\\\\\\ du=-dt$

Assim, as integrais se tornam:

$\displaystyle{\int\dfrac{1}{r}\,dr-\int\dfrac{2}{t}\,dt=\int\dfrac{1}{x}\,dx}$

Calcule as integrais imediatas

$\ln|r|-2\ln|t|=\ln|x|+C_1$

Desfaça as substituições e faça $C_1=\ln|C|$ e aplique a propriedade de soma de logaritmos

$\ln|1+u|-2\ln|1-u|=\ln|C\,x|$

Aplicamos as propriedades de logaritmos de modo a reescrever o lado esquerdo da igualdade:

$\ln\left|\dfrac{1+u}{(1-u)^2}\right|=\ln|C\,x|$

Calcule a exponencial de ambos os lados da igualdade e resolva a equação em $u$

$\exp\left(\ln\left|\dfrac{1+u}{(1-u)^2}\right|\right)=\exp(\ln|C\,x|)\\\\\\ \dfrac{1+u}{(1-u)^2}=C\,x\\\\\\ 1+u=Cx-2Cx\,u+Cx\,u^2\\\\\\ Cx\,u^2-(2Cx+1)\,u+Cx-1=0$

$u=\dfrac{2Cx+1\pm\sqrt{(2Cx+1)^2-4\cdot Cx\cdot(Cx-1)}}{2\cdot Cx}\\\\\\u=\dfrac{2Cx+1\pm\sqrt{8Cx+1}}{2\cdot Cx}$

Faça $2C=K$ e desfaça a substituição $u=\dfrac{y}{x}$

$\dfrac{y}{x}=\dfrac{Kx+1\pm\sqrt{Kx+1}}{Kx}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $x$

$\Large{\boxed{y=\dfrac{Kx+1\pm\sqrt{4Kx+1}}{K},~K\in\mathbb{R}}$