Matemática, perguntado por vendasonline731, 8 meses atrás

alguém pode me ajudar a resolver essa questão por favor!

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Poisson
1

Olá,

Temos o limite:

 \tt \lim_{x \to \: 0} \:  \dfrac{2 \sqrt[5]{ {x}^{2} } }{1 - cos( \sqrt[5]{x} )}  \\

Inicialmente, observe que:

 \tt \:   \sqrt[5]{ {x}^{2} }  = ( \sqrt[5]{x}  {)}^{2}  \\

Então, faremos isso no limite:

 \tt \lim_{x \to \: 0} \:  \dfrac{2 (\sqrt[5]{ {x} } {)}^{2} }{1 - cos( \sqrt[5]{x} )}  \\

Feita essa mudança, vamos fazer a seguinte substituição:

 \tt \: t =  \sqrt[5]{x}  \\

Observe que:

 \tt \: x \to \: 0 \:  =  > t \to \: 0 \\

Assim:

 \tt \lim_{x \to \: 0} \:  \dfrac{2 (\sqrt[5]{ {x} } {)}^{2} }{1 - cos( \sqrt[5]{x} )}   \\   \tt \:  =  \tt \lim_{t\to \: 0} \:  \dfrac{2 t^{2} }{1 - cos( t)}  \\

Vamos multiplicar a fração no limite por  \tt \: 1  + cos(t) \\

Assim:

\tt \:  =  \tt \lim_{t\to \: 0} \:   \left(\dfrac{2 t^{2} }{1 - cos( t)} \right) \left(  \dfrac{1 + cos(t)}{ 1 + cos(t)} \right)  \\  \tt \:  =  \tt \lim_{t\to \: 0} \:  \dfrac{2 t^{2}(1 + cos (t)) }{1 - co {s}^{2} ( t)}  \\

Lembre-se que:

 \tt \:  {sen}^{2} (t) = 1 -  {cos}^{2} (t) \\

Substituindo:

\tt \:  =  \tt \lim_{t\to \: 0} \:  \dfrac{2 t^{2}(1 + cos(t) )}{ {sen}^{2}(t) }  \\ \\ \tt \:  =  2 \: \tt \lim_{t\to \: 0} \:   \left(\dfrac{ t^{2} }{ {sen}^{2}(t) } \right) \left(1 + cos(t) \right) \\ \\   \tt \:  =  2 \: \tt \lim_{t\to \: 0} \:   \left(\dfrac{ 1}{  \dfrac{ {sen}^{2}(t) }{ {t}^{2} } } \right) \left(1 + cos(t) \right) \\  \\   \tt \:  =  2 \: \tt \lim_{t\to \: 0} \:  \dfrac{(1 + cos(t))}{ \left( \dfrac{ {sen}^{2} t}{ {t}^{2} }  \right)}  \\ \\  \tt \:  =  2 \: \tt \lim_{t\to \: 0} \:  \frac{(1 + cos(t))}{ \left( \dfrac{sen(t)}{t} \cdot \:  \dfrac{sen(t)}{t}   \right)}   \\  \\

Lembre-se do Limite Trigonométrico:

 \tt   \lim_{t \to \: 0} \:  \dfrac{sen(t)}{t}  = 1

Assim:

 \tt \:  =2  \left(  \dfrac{ \lim_{t \to \: 0}(1 + cos(t)) }{ \lim_{t \to \: 0} \:  \dfrac{sen(t)}{t}  \cdot \:  \lim_{t \to \: 0} \:  \dfrac{sen(t)}{t}} \right) \\    \\  \tt \:  = 2 \left( \frac{1 + cos(0)}{1 \cdot \: 1}  \right) \\  \\ \tt \:  = 2 \left( \frac{1 + 1}{1 }  \right) \\  \\  \tt = 2(2) \\   \\  \tt \:  = 4 \\

Assim, temos que:

 \boxed{ \tt \lim _{x \to \: 0} \:  \frac{2 \sqrt[5]{ {x}^{2} } }{1 - cos( \sqrt[5]{x} )}  = 4} \\


vendasonline731: muito obrigado
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