Question

Alguém pode me ajudar a entender isso?

Answer 1

A bolinha faz uma trajetória circular e isso significa que deve agir uma força centrípeta nessa bolinha.

A força centrípeta, como o nome sugere, aponta para o centro da trajetória. O centro nesse caso é a mão do menino, que fica fixa enquanto a bolinha gira.

Observe o diagrama anexado que mostra as forças que agem na bolinha nos pontos A e B.

Observe que duas foças agem sobre a bolinha. A força peso e a tração no fio.

O vetor azul representa a direção radial.

Para o item A vamos escrever as forças que agem na nossa bolinha (segunda lei de Newton):

$\displaystyle{m \vec a=(-T_A-mg)\hat r}$

O r com chapéu diz que as forças são na direção radial, e elas são negativas, pois apontam para dentro e não para fora da trajetória.

Essa aceleração deve ser a aceleração centrípeta, relacionada a força centrípeta. Temos que:

$\displaystyle{\vec a_c =-\frac{v^2}{R} \hat r}$

Com isso temos:

$\displaystyle{-\frac{mv^2}{R} \hat r=(-T_A-mg)\hat r}$

Podemos achar a tração no fio no ponto A:

$\displaystyle{T_A=\frac{mv^2}{R} -mg }$

Temos que m = 0,10 kg, g = 10 m/s², v = 4,0 m/s² e que R = 0,50 m:

$\displaystyle{T_A=\frac{0.1\text{ kg}\cdot (4 \text{ m/s})^2}{0.5\text{ m}} -0.1\text{ kg}\cdot 10\text{ m/s}^2}$

$\displaystyle{T_A=2.2\text{ N}}$

O módulo da tração em A é de 2,2 N.

O mesmo pode ser feito para o ponto B:

$\displaystyle{m \vec a=(-T_B+mg)\hat r}$

Dessa vez a força peso é na direção radial positiva e a tensão continua sendo negativa.

Novamente, temos a aceleração centrípeta que ainda é na direção radial negativa.

$\displaystyle{-\frac{mv^2}{R} \hat r=(-T_B+mg)\hat r}$

$\displaystyle{T_B=\frac{mv^2}{R}+mg}$

Colocando os valores teremos:

$\displaystyle{T_B=\frac{0.1\text{ kg}\cdot (4 \text{ m/s})^2}{0.5\text{ m}} +0.1\text{ kg}\cdot 10\text{ m/s}^2}$

$\displaystyle{T_B=4.2\text{ N}}$

O módulo da tração no ponto B é de 4.25 N.

Para o Item B:

A velocidade mínima necessária para que o fio não fique frouxo deve ser aquela que faça com a  tração no fio seja no mínimo 0.

Por causa disso, na nossa situação do ponto A, o cálculo é o mesmo, mas com a condição de que a tração seja zero:

$\displaystyle{-\frac{mv^2}{R} \hat r=(-mg)\hat r}$

Podemos resolver para v essa equação e teremos:

$\displaystyle{v^2=gR}$

$\displaystyle{v=\sqrt{gR}}$

Colocando os valores conhecidos teremos:

$\displaystyle{v=\sqrt{10\cdot 0.5\text{ m}^2\text{/s}^2}}$

$\displaystyle{v\approx2.236\text{ m/s}}$

Essa é a velocidade mínima para que o fio não fique frouxo no ponto mais alto.

Perceba que pela expressão que encontramos, essa velocidade não depende da massa da bolinha. Ela depende apenas do raio da trajetória e da aceleração da gravidade local.