Question

Alguém pode me ajudar ?

Answer 1

Resposta:

$u = (\frac{5\sqrt{35} }{7}, -\frac{\sqrt{35} }{7}, -\frac{3\sqrt{35} }{7})$

Explicação passo a passo:

Temos:

$a = ( 2, 1, 3)\\\\b = (1, -1, 2)$

$u:$ Vetor Ortogonal aos vetores a e b e módulo 5.

Para encontrar o vetor ortogonal você deve realizar o produto vetorial entre

a×b, o mesmo será dado pelo determinate:

$axb = \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\x_{a} &y_{a} &z_{a} \\x_{b} &y_{b} &z_{b} \end{array}\right| \left\begin{array}{cc}i&j\\x_{a} &y_{a} \\x_{b} &y_{b} \end{array}\right$

$axb = \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2 & 1 & 3 \\1 & -1 & 2 \end{array}\right| \left\begin{array}{cc}i&j\\2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right$

Para calcular o determinante basta fazer:

Diagonais Principais$(D_{p})$ - Diagonais Secundárias$(D_{s})$

Lembre que i, j e k são vetores unitários e portanto possuem módulo igual a 1 e o valor de um vetor ao quadrado é igual a módulo desse mesmo vetor.

$D_{p} = 2i + 3j -2k\\\\D_{s} = -3i +4j + k\\\\D_{p} - D_{s} = (2i + 3j -2k) - (-3i +4j + k)\\\\D_{p} - D_{s} = 5i - j - 3k$

Achamos um vetor ortoganal v = (5, -1, -3)

$|v| = \sqrt{x_{v}^{2} + y_{v}^{2} + z_{v}^{2} } \\\\|v| = \sqrt{5^{2} +(-1)^{2} +(-3)^{2} } \\\\|v| = \sqrt{25 + 1 + 9} \\\\|v| = \sqrt{35}$

A questão pede para que o vetor ortogonal tenha módulo 5, para isso basta acharmos um valor k ∈ R, que multiplicado pelo |v| resulte no valor 5, ou seja:

$5 = k * \sqrt{35}\\5 = k * \sqrt{7 * 5} \\\\k = \sqrt{\frac{5}{7} }$

Irei racionaliza k só para fim de estética e convenção matemática:

$k = \sqrt{\frac{5}{7} } *\sqrt{\frac{7}{7} } \\\\k = \frac{\sqrt{35} }{7}$

Encontrado k,  basta multiplicarmos o vetor v encontrado por esse k e teremos o vetor ortogonal de módulo 5, ou seja:

$u = k * v\\\\u =\frac{\sqrt{35} }{7} * (5, -1, -3)\\\\u = (\frac{5\sqrt{35} }{7}, -\frac{\sqrt{35} }{7}, -\frac{3\sqrt{35} }{7})$