Question

Alguém pode me ajudar? ​

Answer 1

Resposta:

Alternativa A.

Explicação passo-a-passo:

A propriedade que nós utilizamos para descobrir outros dois lados de um triângulo a partir do lado que sabemos é a Lei dos Senos.

A Lei dos Senos serve para nós relacionarmos os lados de um triângulo com seus ângulos.

Temos que

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)

Onde a, b e c são os lados e A, B e C são os ângulos.

É importante destacar que A é o ângulo oposto ao lado a, B é o ângulo oposto ao lado b e C é o ângulo oposto ao lado c. Então a gente não pode pegar qualquer ângulo e aplicar a Lei dos Senos, nós devemos utilizar os ângulos opostos.

Por exemplo, na figura:

- O ângulo de 45° está oposto ao lado x.

- O ângulo de 60° está oposto ao lado de 10 cm.

Sendo assim: a = x ; A = 45° e b = 10 cm ; B = 60°.

Podemos fazer a Lei dos Senos então:

a/sen(A) = b/sen(B) ⇒ x/sen(45°) = 10/sen(60°)

x/(√2/2) = 10/(√3/2) ⇒ x/√2 = 10/√3

x = 10 . √2/√3 ⇒ x = 10√6/3 cm.

Para achar y, vamos fazer a mesma coisa. Porém, precisamos achar o ângulo C, ou seja, o ângulo oposto a y. Para isso, vamos usar o fato que a soma dos 3 ângulos de um triângulo é igual a 180°. Assim:

A + B + C = 180°

45° + 60° + C = 180°

C + 105° = 180° ⇒ C = 75°.

Assim, temos que: b = 10 cm ; B = 60° e c = y ; C = 75°.

Utilizando a Lei dos Senos:

b/sen(B) = c/sen(C) ⇒ 10/sen(60°) = y/sen(75°).

Para acharmos sen(75°) , vamos usar o seno da soma:

sen (a+b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a).

Como 75° = 30° + 45°:

sen (75°) = sen (30° + 45°)

                = sen(30°).cos(45°) + sen(45°).cos(30° )

                = (1/2) . (√2/2) + (√2/2) . (√3/2)

                = (√2/2) . (1/2 + √3/2) (coloquei o √2/2 em evidência)

                 = (√2/2) . (1+√3/2)

                 = (√2+√6)/4.

Voltando à Lei dos Senos, temos que

10/sen(60°) = y/sen(75°) ⇒ 10/√3/2 = y/ (√2+√6)/4

10/√3 = y/ (√2+√6)/2 ⇒ y = (10/√3) . (√2+√6)/2

y = (10/6) . (√6 + 3√2) ⇒ y = 5(√6+3√2)/3.

Temos que x = 10√6/3 e y = 5(√6+3√2)/3.

Como √6 ≅ 2,45 e √2 ≅ 1,41 (aproximado na calculadora):

x ≅ 10 . 2,45/3 = 24,5/3 ≅ 8,17 cm.

y ≅ 5(2,45+3. 1,41)/3 = 5 . 6,68/3 ≅ 33,4/3 = 11,15 cm.

Resposta: Alternativa A.