Question

Alguém pode me ajudar?

Answer 1

Sea $\Phi$ el conjunto de funciones afines, y 
                                       $\circ:\Phi^2\to \Phi$
es un operador  que
$\circ(f,g) =f\circ g$

1. Asociatividad:
Puesto que $f,g,h:\mathbb R\to \mathbb R$ son biunívocas (o biyectivas) entonces:
$\left[f\circ(g\circ h)\right](x)=f[(g\circ h)(x)]=f\{g[h(x)]\} \\ \\ \left[(f\circ g)\circ h\right](x)=(f\circ g)[h(x)]=f\{g[h(x)]\}$

2. Existencia del elemento neutro
Elemento neutro para todas las funciones es $I(x)=x$, puesto que
                               $I\circ f = f \circ I = f$
este elemento neutro es para izquierda y para derecha

3. Existencia de inversos
Sea $e_1\in \Phi$ es un inverso a izquierda y $e_2\in\Phi$ un inverso a derecha de $f$, entonces
                            $e_1\circ f =f\circ e_2 = I$
Notemos que
$e_1\circ (f \circ e_2)=e_1\circ I = e_1\\ \\ e_1\circ (f \circ e_2)=(e_1\circ f) \circ e_2=I\circ e_2 =e_2$

Por lo tanto $e_2=e_1 = e\in \Phi$

Ahora comprobemos que realmente existe. Sea $f(x)=ax+b$, entonces

$I(x)=(f\circ e)(x)=f[e(x)]=ae(x)+b\\ x=ae(x)+b\\ \\ e(x)=\dfrac{x-b}{a}\\ \\ \boxed{e(x)=\dfrac{1}{a}x-\dfrac{b}{a}}$

Por lo tanto $(\Phi ,\circ)$ es un grupo.

Note que $(\Phi ,\circ)$ no es un grupo.abeliano (o conmutativo)