Question

alguém pode me ajudar??

Answer 1

Resposta:

x=2 ou x=4

Explicação passo-a-passo:

$\displaystyle \frac{2^{2x}+2^6}{5} =2^{x+2}\\\\\frac{2^{2x}+2^6}{5} =2^x.2^2=4.2^x\\2^{2x}+2^6=20.2^x$

Chamando y=2ˣ (I):

$y^2+2^6=20y\\y^2-20y+64=0\\ Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~y^{2}-20y+64=0~~\\e~comparando~com~(a)y^{2}+(b)y+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-20~e~c=64\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-20)^{2}-4(1)(64)=400-(256)=144\\\\y^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-20)-\sqrt{144}}{2(1)}=\frac{20-12}{2}=\frac{8}{2}=4\\\\y^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-20)+\sqrt{144}}{2(1)}=\frac{20+12}{2}=\frac{32}{2}=16\\\\S=\{4,~16\}$

Substituindo y=4 em (I)

$4=2^x\\2^2=2^x\\x=2$

Substituindo y=16 em (I)

$\displaystyle 16=2^x\\2^4=2^x\\x=4$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Olá,

Primeiramente vamos começar desmembrar as expressões dos termos que possuem a incógnita no expoente p/ forçar o aparecimento de termos comuns. Veja :

    2²ˣ + 2⁶

------------------- = 2ˣ . 2²

        5

Lembrando que : No caso de termos uma potencia cujo expoente seja uma soma nós devemos aplicar a seguinte propriedade :

Na multiplicação de potencias de mesma base nós conservamos a base e somamos os expoentes (Aí é só fazer o caminho inverso)

O próximo passo agora é isolar o 2ˣ . Nós faremos isso multiplicando os dois lados da nossa igualdade por 5 p/ que nós possamos cortar o denominador do 1º membro. Logo :

5 .   2²ˣ + 2⁶

   --------------- = 2ˣ . 2² . 5

           5

2²ˣ + 2⁶ = 2ˣ . 2² . 5

Agora é questão desenvolver as potencias :

2²ˣ + 64 = 2ˣ . 4 . 5

2²ˣ + 64 = 2ˣ . 20

Observe que se nós fizermos :

(2²ˣ) = (2ˣ)²

Nós podemos enxergar o 2ˣ como uma incógnita p/ facilitar os nossos cálculos. Chamando o 2ˣ de y nós ficamos com :

(2ˣ)² + 64 = 20 . 2ˣ

y² + 64 = 20y

y² - 20y + 64 = 0

Agora é só resolver essa equação do 2º grau p/ acharmos os valores de x que tornam a nossa igualdade verdadeira. Observe :

Δ = b² - 4ac → Δ = (-20)² - 4.1.64

Δ = 400 - 256 → Δ = 144

y' = -b + √Δ/2a

y' = -(-20) + √144/2.1 → y' = 20 + 12/2 → y' = 32/2 → y' = 16

y'' = -b - √Δ/2a

y'' = -(-20) - √144/2.1 → y'' = 20 - 12/2 → y'' = 8/2 → y'' = 4

No entanto o nosso cálculo não acabou por aqui, já que :

2ˣ = y'   e   2ˣ = y''

2ˣ = 4         2ˣ = 16

P/ resolvermos uma equação exponencial é necessário que ambos os lados da minha equação estejam numa mesma base. Logo :

2ˣ = 2²   e    2ˣ = 2⁴

Se as nossas bases são iguais então nós podemos igualar os expoentes também. Portanto :

x = 2    e    x = 4