Question

Alguém pode dar uma força ??


Numa escola há 10 professores de geometria, 8 de álgebra e 6 de análise.

a) Quantas comissões de 9 professores podem ser formadas nas quais há 3 professores de cada uma das áreas? Quantas comissões podem ser formadas se em cada comissão deve ter ao menos 4 professores de geometria e 2 de álgebra?

Answer 1

•    10 professores de Geometria;

•    8 professores de Álgebra;

•    6 professores de Análise.

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Como queremos formar comissões de 3 professores de cada área, trata-se de um problema de cálculo de combinações simples

(dois grupos de professores se diferem apenas pelos seus elementos, não pela ordem de escolha).


Para comissões de 9 professores, sendo 3 de cada área, a quantidade de comissões é dada por

$\mathtt{C_{10,\,3}\cdot C_{8,\,3}\cdot C_{6,\,3}}\\\\ =\mathtt{\dfrac{10!}{3!(10-3)!}\cdot \dfrac{8!}{3!(8-3)!}\cdot \dfrac{6!}{3!(6-3)!}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{10!}{3!\cdot 7!}\cdot \dfrac{8!}{3!\cdot 5!}\cdot \dfrac{6!}{3!\cdot 3!}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot \diagup\!\!\!\!\! 7!}{3!\cdot\diagup\!\!\!\!\! 7!}\cdot \dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot\diagup\!\!\!\!\! 5!}{3!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}\cdot \dfrac{6\cdot 5\cdot 4\cdot \diagup\!\!\!\!\! 3!}{3!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 3!}}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}}$

$=\mathtt{120\cdot 56\cdot 20}\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{134\,400}\texttt{ comiss\~oes} \end{array}}$

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Para a 2ª situação, nada é informado sobre existir ou não limite máximo de professores para formar as comissões. Então,


•    ao menos 4 professores de Geometria:

$\displaystyle\mathtt{\sum_{p=4}^{10}C_{10,\,p}}\\\\\\ =\mathtt{\sum_{p=0}^{10}C_{10,\,p}-\sum_{p=0}^{3}C_{10,\,p}}\\\\\\ =\mathtt{2^{10}-(C_{10,\,0}+C_{10,\,1}+C_{10,\,2}+C_{10,\,3})}\\\\ =\mathtt{1\,024-(1+10+45+120)}\\\\ =\mathtt{1\,024-176}\\\\ =\mathtt{848}$


•    ao menos 2 professores de Álgebra:

$\displaystyle\mathtt{\sum_{p=2}^{8}C_{8,\,p}}\\\\\\ =\mathtt{\sum_{p=0}^{8}C_{8,\,p}-\sum_{p=0}^{1}C_{8,\,p}}\\\\\\ =\mathtt{2^8-(C_{8,\,0}+C_{8,\,1})}\\\\ =\mathtt{256-(1+8)}\\\\ =\mathtt{256-9}\\\\ =\mathtt{247}$

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Portanto, a quantidade de comissões que podem ser formadas com ao menos 4 professores de Geometria e 2 de Álgebra é

$\displaystyle\mathtt{\sum_{p=4}^{10}C_{10,\,p}\cdot \sum_{p=2}^{8}C_{8,\,p}}\\\\\\ =\mathtt{848\cdot 247}\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{209\,456}\texttt{ comiss\~oes} \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)