Alguém pode ajudar nessa questão?
A equação modular |x² – 3x + 4| = 0, corresponde aos pontos da reta real cuja distância a ........ é igual a ..........
Estava resolvendo e cheguei aqui (| x - 3/2 |)² = -(7)/4. Daqui pra frente não consegui prosseguir.
Soluções para a tarefa
Primeiro note que o módulo numa equação do tipo |f(x)| = 0 não faz diferença nenhuma, isso é o mesmo que dizer f(x) = 0. Assim, o que queremos analisar são equações do segundo grau. Quando temos uma equação do segundo grau com coeficientes reais temos 3 casos:
1) há duas soluções reais distintas;
2) há apenas uma solução real (com multiplicidade 2);
3) não há raízes reais.
No caso 1), se 2d é a distância entre as raízes e m o ponto médio entre elas, a equação pode ser escrita como
(x-m)² = d² ( I )
Que é equivalente a
|x-m| = d
Por exemplo, a equação x²-8x + 7 = 0 tem raízes 1 e 7. Assim, o ponto médio entre elas é 4 a distância é 6. Assim, podemos escrever
(x-4)² = 3²
que é o mesmo que x²-8x + 7 = 0.
Isso quer dizer que podemos interpretar as soluções de qualquer equação real do segundo grau como o conjunto dos pontos cuja distância a "m" é "d". No caso 2) a única diferença é que d= 0.
Gostaríamos de encontrar uma interpretação similar para o caso 3). Podemos achar algo parecido com ( I ) completando quadrados: (para a≠0)
O problema é que nesse caso delta é negativo. Ou seja, obtemos algo da forma
(x-m)² = -d² ( II )
No conjunto dos números reais ( II ) não tem solução. Mas tendo em vista que existem solução nos complexos, queremos saber se podemos dar uma interpretação em termos de "distância".
Nos reais, as equações x² = k e |x|² = k são equivalentes. Ou seja, elas tem as mesmas soluções; se uma não tem solução a outra não tem também. Denotamos isso com o símbolo ⇔:
x² = k ⇔ |x|² = k ( III )
Nos complexos a situação é mais delicada. Por exemplo, |z|² = k possui infinitas soluções se k é real e positivo, 1 solução (com multiplicidade 2) se k é 0, e nenhuma caso k seja real negativo ou complexo não real. Mas z² = k possui sempre duas (1 com multiplicidade 2 se k = 0). Assim, o único caso que funciona é :
z² = 0 ⇔ |z|² = 0
Esse caso não tem muita graça. De maneira geral podemos dizer que
z² = k ⇒ |z|² = |k| ( IV )
O símbolo ⇒ indica que se a primeira equação é verdadeira, então a segunda é verdadeira. Porém se a segunda é verdadeira, a primeira pode ser verdadeira ou falsa.
Conclusão:
Nos reais somos iludidos a pensar que a relação entre equações do segundo grau e distâncias é mais próxima do que realmente é. Esses objetos apesar de distintos se confundem (nos reais), como vemos em ( III ). Mas nos complexos as distinções são mais evidentes. O módulo não captura toda a informação da equação do segundo grau ( IV ). Sendo esse o caso, não podemos interpretá-la exclusivamente usando distâncias, salvo em algumas situações particulares.
Voltando a equação z² = k podemos nos questionar como reobter toda a informação perdida ao fazer |z|² = |k|. Isso vem da forma polar. Vamos analisar o caso mais geral:
(z- w)² = k
onde w é um número complexo. Escrevendo k = d²( cos2θ + i sen2θ) pra d≥0 e 0≤θ≤π e considerando Arg (argumento) no intervalo [0, 2π] com 0 e 2π identificados temos:
(z-w)² = k ⇒ |z-w|² = d² ⇔ |z-w| = d ( V )
(z-w)² = k ⇒ Arg(z-w)² = 2θ ⇔ Arg(z-w) = θ ou Arg(z-w) = θ+π ( VI )
Isso quer as soluções de (z-w)² = k satisfazem
Por ( V ) devem estar a uma distância d do ponto w.
Por ( VI ) devem estar na reta com declive tanθ e passando por w.
Isso é suficiente para caracterizar as raízes de (z-w)² = k.
Por exemplo, se w = a+bi e k = 8 + 8i√3 = 16 (cos60°+isen60°), as soluções são z₁ = (a+bi) + (2√3 + 2i) e z₂= (a+bi) - (2√3 + 2i) (veja figura)
Obs.:
Você deve saber que a soma dos termos da PG infinita 1, q, q²,... é
1 + q + q² + q³ + ... = 1/(1-q)
Mas por muito tempo somas infinitas não faziam sentido em matemática. Existem por exemplo os paradoxos de Zenon. Com o tempo desenvolveram se tecnicas que deram sentido a somas infinitas e as tornaram úteis. Porém no contexto dos numeros reais a fórmula acima só vale quando a razão tem módulo menor que 1. Não faz sentido dizer
1 + 2 + 2² + 2³ + ... = 1/(1-2) = -1
Entretanto, isso faz sentido em outro contexto, que chamamos de números p-ádicos e é útil lá. Essas "descobertas" aconteceram pois os matemáticos não desistiram de dar sentido e tornar útil (ser útil é importante) a coisas que inicialmente eram "bobagem". Por isso acho que você está no caminho certo ao se fazer esse tipo de pergunta.
