Question

alguém pode ajudar???

Answer 1

Resolvendo pela regra de Cramer.

A matriz dos coeficientes é

$\mathbf{A}=\left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&-1&r\\ r&2&1 \end{array} \right ]$


$\bullet~~$ Calculando o determinante da matriz $\mathbf{A}$ pela regra de Laplace

(desenvolvido pela primeira linha)


$\Delta=\det \mathbf{A}=\det\!\left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&-1&r\\ r&2&1 \end{array} \right ]\\\\\\ =1\cdot (-1\cdot 1-2\cdot r)-1\cdot (1\cdot 1-r\cdot r)+1\cdot (1\cdot 2-(-1)\cdot r)\\\\ =1\cdot (-1-2r)-1\cdot (1-r^{2})+1\cdot (2+r)\\\\ =-1-2r-1+r^{2}+2+r\\\\ =r^{2}-r\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \Delta=r\cdot (r-1) \end{array}}$


Como $r\ne 0$ e $r\ne 1,$ garantimos que $\Delta\ne 0.$ Portanto o sistema admite solução única.
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$\bullet~~$ Cálculo do determinante associado à variável $x.$

Substitui a primeira coluna de $\mathbf{A}$ pelos termos independentes.

(Cálculo do determinante pelo método de Laplace, desenvolvido pela primeira linha)

$\Delta_{x}=\det\!\left[\begin{array}{ccc} \mathbf{0}&1&1\\ \mathbf{2}&-1&r\\ \mathbf{-1}&2&1 \end{array} \right ]\\\\\\ =0\cdot (-1\cdot 1-2\cdot r)-1\cdot (2\cdot 1-(-1)\cdot r)+1\cdot (2\cdot 2-(-1)\cdot (-1))\\\\ =0-1\cdot (2+r)+1\cdot (4-1)\\\\ =0-2-r+3\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \Delta_{x}=1-r \end{array}}$

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Pela Regra de Cramer, temos que

$x=\dfrac{\Delta_{x}}{\Delta}\\\\\\ x=\dfrac{1-r}{r\cdot (r-1)}\\\\\\ x=\dfrac{-1\cdot (r-1)}{r\cdot (r-1)}$


Como $r-1\ne 0,$ podemos simplificar o fator comum $(r-1)$ no numerador e no denominador, obtendo finalmente

$\boxed{\begin{array}{c} x=-\,\dfrac{1}{r} \end{array}}$


Resposta: alternativa $\text{d)~~}x=-\,\dfrac{1}{r}.$