Question

Alguém para me ajudar nessa integral

Answer 1

Temos a seguinte integral indefinida:

$\sf \int x {}^{3} . \sqrt{1 - x {}^{2} } dx$

Para resolver essa integral devemos usar a técnica de substituição trigonométrica, sendo mais preciso, a do tipo: $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$. Para usar essa técnica, devemos montar um triângulo retângulo com os valores de "a" e "x" (O desenho estará anexado na resposta), para essa substituição desse tipo, devemos usar o seno que relaciona o cateto oposto pela hipotenusa, então:

$\sf sen \theta = \frac{x}{1} \longleftrightarrow x = sen \theta$

Derivando "x" em relação ao ângulo:

$\sf \frac{dx}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} sen \theta \to \frac{dx}{d \theta} = cos \theta \to \boxed{\sf dx = cos \theta d \theta }$

Vamos substituir os dados que obtemos:

$\sf \int (sen \theta){}^{3}. \sqrt{1 - (sen \theta) {}^{2} } .cos \theta d \theta \\ \\ \sf \int sen {}^{3} \theta \sqrt{1 - sen {}^{2} \theta} .cos \theta d \theta \: \: \: \: \: \: \:$

Lembre-se da relação fundamental da trigonometria, que diz:

$\sf sen {}^{2} \theta + cos {}^{2} \theta = 1$

Podemos passar o cosseno para o outro membro, fazendo com que apareça o que queremos:

$\sf cos {}^{2} \theta = 1 - sen {}^{2} \theta$

Substituindo no local da expressão, esse valor que acabamos de obter através da manipulação:

$\sf \int sen {}^{3} \theta \sqrt{cos {}^{2} \theta} .cos \theta d \theta \: \: \: \\ \\ \sf \int sen {}^{3} \theta \sqrt{(cos \theta) {}^{2} } .cos \theta d \theta \\ \\ \sf \int sen {}^{3} \theta.cos \theta.cos \theta d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int sen {}^{3} \theta.cos {}^{2} \theta d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora devemos integrar essa nova integral que obtivemos, para isso devemos lembrar que: $\sf \int sen^{m}x.cos^{n}x dx$, possui algumas restrições na hora da integração, são elas:

$\sf \begin{cases} \sf m \: \: ou \: \: n \: \: \acute{i}mpar : sen {}^{2} \theta + cos \theta = 1 \\ \\ \sf m \: \: ou \: \: n \: \: par : sen {}^{2}x = \frac{1 - cos(2x)}{2} \: \: ou \: \: cos {}^{2} x = \frac{1 + cos(2x)}{2} \end{cases}$

Se você notar, devemos aplicar a primeira regrinha, já que o seno está com expoente ímpar. Primeiro vamos abrir aquela potência do seno:

$\sf \int sen {}^{2} \theta.sen \theta.cos {}^{2} \theta d \theta$

Do mesmo jeito que fizemos no começo da questão, vamos isolar desta vez o seno, ficando então com:

$\sf \int (1 - cos {}^{2} \theta).sen \theta.cos {}^{2} \theta d \theta \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int( sen \theta.cos {}^{2} \theta - sen \theta.cos {}^{4} \theta)d \theta$

Lembrando que a integral da soma ou subtração de várias funções é igual a soma ou subtração da integral de cada uma dessas funções:

$\boxed{ \sf\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f (x)dx \pm \int g(x)dx}$

Aplicando essa propriedade:

$\sf \int sen \theta.cos {}^{2} \theta d \theta - \int sen \theta.cos {}^{4} \theta d \theta$

Agora é só resolver por substituição, já que a função e sua derivada se encontram na integral. Digamos que em ambas as funções o cosseno seja representado pelo "u", então devemos derivá-lo:

$\sf u = cos \theta \longleftrightarrow \frac{du}{d \theta} = \frac{d}{ d\theta} cos \theta \longleftrightarrow \frac{du}{d \theta} = - sen \theta \longleftrightarrow \boxed{\sf - du = sen\theta d \theta}$

Substituindo os dados na primeira e segunda integral:

$\sf 1.\bigcirc \sf \int u {}^{2} .( - du) \longleftrightarrow \int - 1.(u {}^{2} .du) \longleftrightarrow - \int u {}^{2} du \\ \\ \sf 2 \bigcirc \int u {}^{4} .( - du) \longleftrightarrow \int - 1.(u {}^{4} .du) \longleftrightarrow - \int u {}^{4} du$

Substituindo esses valores na integral que paramos:

$\sf - \int u {}^{2} .du - \left( - \int u {}^{4}.du \right)\\ \\ \sf \int u {}^{4} .du - \int u {}^{2}.du \: \: \: \: \: \:$

Devemos aplicar a regra da potência para integrais, dada por:

$\boxed{ \boxed{\sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }}$

Aplicando a tal regra:

$\sf - \int u {}^{2} .du + \int u {}^{4}.du \longleftrightarrow - \frac{u {}^{3} }{3} + \frac{u {}^{5} }{4} + C \longleftrightarrow \boxed{ \sf- \frac{1}{3}cos {}^{3} \theta + \frac{1}{5}cos {}^{5} \theta}$

Essa ainda não é a resposta, pois devemos encontrar quem é esse ângulo, para isso basta observar o triângulo retângulo criado e lembrar novamente que o seno é o cateto oposto sobre a Hipotenusa, então:

$\sf sen \theta = \frac{x}{1} \longleftrightarrow \theta = arcsen(x)$

Substituindo essa nova informa, podemos concluir então que a resposta é:

$\boxed{ \boxed{ \sf \int x {}^{3} . \sqrt{1 - x {}^{2} } dx = \frac{1}{5} cos {}^{5} (arcsen(x) )- \frac{1}{3} cos {}^{3} (arcsen (x)) + C}}$

Espero ter ajudado