Question

Alguém para ajudar na (9)

Answer 1

As soluções das equações que podem ser escritas na forma

$\mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen\,}a$

são

$x=a+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left(\pi-a \right )+k\cdot 2\pi$

onde $k \in \mathbb{Z}$ ($k$ pode assumir qualquer valor inteiro).

Sendo assim, geralmente temos infinitas soluções, pois temos infinitos valores possíveis para $k$.


a) $\mathrm{sen\,}x=\dfrac{1}{2}$

$\mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{6}\\ \\ x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left(\pi-\dfrac{\pi}{6} \right )+k\cdot 2\pi\\ \\ x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{6\pi-\pi}{6}+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi}$

onde $k \in \mathbb{Z}$.


b) $\mathrm{sen\,}x=0$

$\mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen\,}0\\ \\ x=0+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left(\pi-0 \right )+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{x=0+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\pi+k\cdot 2\pi}$

onde $k \in \mathbb{Z}$.


c) $\mathrm{sen\,}x=-1$

$\mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen\,}\dfrac{3\pi}{2}\\ \\ x=\dfrac{3\pi}{2}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left(\pi-\dfrac{3\pi}{2} \right )+k\cdot 2\pi\\ \\ x=\dfrac{3\pi}{2}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{2\pi-3\pi}{2}+k\cdot 2\pi\\ \\ x=\dfrac{3\pi}{2}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=-\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi$


As duas soluções acima são equivalentes, pois os arcos de $\dfrac{3\pi}{2}$ e $-\dfrac{\pi}{2}$ são arcos côngruos, ou seja, a diferença entre eles é um múltiplo inteiro de $2\pi$. Isto sempre vai acontecer se o valor que estiver do lado direito da igualdade for $1$ ou $-1$, que é este caso. Sendo assim, basta escolhermos uma das duas soluções:

$\boxed{x=\dfrac{3\pi}{2}+k\cdot 2\pi}$

onde $k \in \mathbb{Z}$.


d) $\mathrm{sen\,}x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen}\left(-\dfrac{\pi}{4} \right )\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k \cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left[\,\pi-\left(-\dfrac{\pi}{4} \right )\, \right ]+k \cdot 2\pi\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k \cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left[\,\pi+\dfrac{\pi}{4}\, \right ]+k \cdot 2\pi\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k \cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{4\pi+\pi} {4}+k \cdot 2\pi\\ \\ \boxed{x=-\dfrac{\pi}{4}+k \cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{5\pi}{4}+k \cdot 2\pi}$

onde $k \in \mathbb{Z}$.


e) $\mathrm{sen\,}x=2$

Não existe nenhum arco real cujo seno seja igual a $2$, pois, para todos os valores reais de $x$, devemos ter

$-1 \leq \mathrm{sen\,}x \leq 1$

ou seja, o valor do seno, em módulo, não pode ser maior que $1$. Logo, esta equação não possui solução real.


f) $4\cdot \mathrm{sen}^{2\,}x-3=0$

$4\cdot \mathrm{sen}^{2\,}x=3\\ \\ \mathrm{sen}^{2\,}x=\dfrac{3}{4}\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}}\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm \mathrm{\,sen\,}\dfrac{\pi}{3}$


Como a função seno é ímpar, ou seja

$-\mathrm{sen\,}a=\mathrm{sen}\left(-a \right )$

podemos escrever


$\mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen}\left(\pm \dfrac{\pi}{3} \right )\\ \\ x=\pm \dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left[\,\pi-\left(\pm \dfrac{\pi}{3}\right )\, \right ]+k \cdot 2\pi\\ \\ x=\pm \dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left[\,\pi\mp \dfrac{\pi}{3}\, \right ]+k \cdot 2\pi\\ \\ x=\pm \dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{3\pi \mp\pi}{3}+k \cdot 2\pi\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\dfrac{3\pi-\pi}{3}+k\cdot 2\pi\\ \\ &\text{ ou }\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\dfrac{3\pi+\pi}{3}+k \cdot 2\pi \end{array}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\dfrac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi\\ \\ &\text{ ou }\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\dfrac{4\pi}{3}+k \cdot 2\pi \end{array}}$

onde $k \in \mathbb{Z}$.


Esta equação possui quatro soluções particulares: duas para cada sinal escolhido, pois apareceu um "mais ou menos" no meio da solução.