Question

Alguém para ajudar??/ na (19)

Answer 1

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio $1$. Como o segmento $\overline{OA}$ é um raio da circunferência, então

$\mathrm{med}\left(\overline{OA} \right )=1$


Das relações trigonométricas no triângulo retângulo $OAB$, temos que

$\bullet\;\;\dfrac{\mathrm{med}\left(\overline{OB} \right )}{\mathrm{med}\left(\overline{OA} \right )}=\cos\dfrac{\pi}{6}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{OB} \right)=\mathrm{med}\left(\overline{OA} \right )\cdot \cos\dfrac{\pi}{6}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{OB} \right)=1\cdot \cos\dfrac{\pi}{6}\\ \\ \boxed{\mathrm{med}\left(\overline{OB} \right)=\cos\dfrac{\pi}{6}}\\ \\ \\ \bullet\;\;\dfrac{\mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )}{\mathrm{med}\left(\overline{OA} \right )}=\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{6}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )=\mathrm{med}\left(\overline{OA} \right )\cdot \mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{6}\\ \\ \mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )=1\cdot \mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{6}\\ \\ \boxed{\mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )=\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{6}}$


a) O perímetro do triângulo $OAB$ é

$\mathrm{med}\left(\overline{OA} \right )+\mathrm{med}\left(\overline{OB} \right )+\mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )\\ \\ \\ =1+\cos \dfrac{\pi}{6}+\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{6}\\ \\ =1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\\ \\ =\dfrac{2+\sqrt{3}+1}{2}\\ \\ =\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\text{ u.c.}$


b) A área do triângulo $OAB$ é

$\dfrac{\mathrm{med}\left(\overline{OB} \right )\cdot \mathrm{med}\left(\overline{AB} \right )}{2}\\ \\ =\dfrac{\cos \frac{\pi}{6}\cdot \mathrm{sen\,}\frac{\pi}{6}}{2}\\ \\ =\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}}{2}\\ \\ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot \dfrac{1}{2}\\ \\ =\dfrac{\sqrt{3}}{8}\text{ u.a.}$