Question

Alguem para ajudar (20)

Answer 1

Fórmula para o tangente de α:
$tan(\alpha)=\dfrac{cateto\_oposto}{cateto_adjacente}$

Isolando a cateto oposto, para utilizar o tangente de α como valor de medida:
$cateto\_oposto = cateto\_adjacente \times tan(\alpha)$

Agora a fórmula da área:
$Area = \dfrac{cateto\_oposto \times cateto\_adjacente}{2}\\\\ Trocando\ o\ valor\ do\ cateto\ oposto:\\\\ Area = \dfrac{(cateto\_adjacente \times tan(\alpha)) \times cateto\_adjacente}{2}\\\\ Area = \dfrac{cateto\_adjacente^2 \times tan(\alpha)}{2}$

Sabemos que o cateto adjacente é o segmento de reta:$\overline{AC}$
Então trocamos ele na fórmula:
$Area = \dfrac{\overline{AC}^2 \times tan(\alpha)}{2}$

Sabemos que ponto A é médio do segmento de reta $\overline{OB}$, então A é igual a:
$\dfrac{\overline{OB}}{2}$

Agora trocamos o valor do ponto A da fórmula anterior da área, para o novo valor:
$Area = \dfrac{\overline{\frac{\overline{OB}}{2}C}^2 \times tan(\alpha)}{2}$

Esperto não ter deixado confuso.
Qualquer dúvida, é só perguntar.

Bons estudos!

Answer 2

 Olá Micax,

 Para resolver o problema, devemos saber que o raio do ciclo trigonométrico vale 1; e, que o ângulo do $\Delta\,BAC$ também vale $\alpha$ (ângulos correspondentes).

  Segue que,

Condição I:

$\sin\,\alpha=\frac{BC}{\frac{1}{2}}\\\\BC=\frac{\sin\,\alpha}{2}$

Condição II:

$\cos\,\alpha=\frac{AC}{\frac{1}{2}}\\\\AC=\frac{\cos\,\alpha}{2}$
 
 Obs.: o raio/hipotenusa do triângulo BAC vale metade (1/2) do triângulo maior, afinal, A é o ponto médio...
 
 Sabemos que a área de um triângulo retângulo também é dada pela metade do produto de seus catetos.
 
 Isto posto,

$S=\frac{AC\cdot\,BC}{2}\\\\S=\frac{\frac{\cos\,\alpha}{2}\cdot\frac{\sin\,\alpha}{2}}{2}\\\\S=\frac{\sin\,\alpha\cdot\cos\,\alpha}{4}\cdot\frac{1}{2}\\\\\boxed{S=\frac{\sin\,\alpha\cdot\cos\alpha}{8}}$