Question

Alguem para ajudar? (18).

Answer 1

a) FALSO

$\cos 90^{\circ}-\cos 30^{\circ}\\ \\ =0-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \neq \cos 60^{\circ}$


O correto seria

$\cos \left(90^{\circ}-30^{\circ} \right )=\cos 60^{\circ}$


b) VERDADEIRO

Temos a Relação Trigonométrica Fundamental

$\mathrm{sen}^{2\,}\alpha+\cos^{2\,}\alpha=1$

para qualquer arco $\alpha \in \mathbb{R}$.


Então, aplicando esta relação a um arco $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$, a sentença é verdadeira:

$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left(\dfrac{1}{2} \right )^{2}=1\\ \\ \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1\\ \\ \dfrac{4}{4}=1$


c) VERDADEIRO

Transformar de radianos para graus:

$1\text{ rad}=\dfrac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57,3^{\circ}$

o arco de $1$ é do 1º quadrante. Logo,

$\cos 1>0$


$2\text{ rad}=2\cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi}\\ \\ 2\text{ rad}=\dfrac{360^{\circ}}{\pi}\approx 114,6^{\circ}$

o arco de $2$ é do 2º quadrante, Logo,

$\cos 2<0$


Enfim, concluimos que

$\cos 2<0<\cos 1\;\;\Rightarrow\;\;\cos 2<\cos 1$


d) FALSO

$\mathrm{sen\,}100^{\circ}\\ \\ =\cos \left(90^{\circ}-100^{\circ} \right )\\ \\ =\cos \left(-10^{\circ} \right )\\ \\ =\cos 10^{\circ}\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{\mathrm{sen\,}100^{\circ}=\cos 10^{\circ}}\\ \\ \\ \cos 100^{\circ}\\ \\ =-\cos \left(100^{\circ}-180^{\circ} \right )\\ \\ =-\cos \left(-80^{\circ} \right )\\ \\ =-\cos 80^{\circ}\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{\cos 100^{\circ}=-\cos 80^{\circ}}$


Então, substituindo na desigualdade, temos

$\mathrm{sen\,}100^{\circ}+\cos 100^{\circ}<0\\ \\ \cos 10^{\circ}-\cos 80^{\circ}<0\\ \\ \cos 10^{\circ}<\cos 80^{\circ}$


A última desigualdade é falsa, pois no primeiro quadrante o valor cosseno decresce quando se aumenta o valor do arco:

$10^{\circ}$ e $80^{\circ}$ são arcos do 1º quadrante. Então

se $10^{\circ}<80^{\circ}$, então $\cos 10^{\circ}>\cos 80^{\circ}$


e) FALSO

$6\text{ rad}=6\cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi}\\ \\ 6\text{ rad}=\dfrac{1\,080^{\circ}}{\pi}\\ \\ 6\text{ rad}\approx 343,8^{\circ}$


Como $270^{\circ}< 343,8^{\circ}<360^{\circ}$, então o arco de $6\text{ rad}$ é do quarto quadrante e seu cosseno é positivo:

$\cos 6>0$


f) FALSO

Para qualquer número real $a$, temos que

$-1\leq \cos a\leq 1$

ou seja, o valor do cosseno, em módulo, nunca é maior que $1$.


Logo, não existe número real $a$, tal que

$\cos a=2$