Question

Alguém me explica como faço?

Um retângulo é inscrito em um triângulo retângulo, como mostrado na figura acima. Se os comprimentos dos lados do triângulo são AB=8, BC=6, AC=10 quais são as dimensões do retângulo inscrito BDEF com a maior área possível?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Qual a figura que o enunciado está se referindo?

Answer 2

As dimensões do retângulo inscrito BDEF com a maior área possível são:

3 e 4

Explicação:

Chamando as dimensões do retângulo de x e y, sua área é expressa por:

A = x · y  (I)

As medidas dos triângulos menores ficam:

triângulo CDE: (6 - y) e x

triângulo AEF: y e (8 - x)

Por semelhança de triângulos, temos:  

  6   = 8  

 6 - y     x

6x = 8(6 - y)

6x = 48 - 8y

6x + 8y = 48

3x + 4y = 24

4y = 24 - 3x

y = 24 - 3x  (II)

         4

Substituindo II em I, temos:

A = x · y

A = x · (24 - 3x)

                4

A = (24x - 3x²)

             4

A = - 3/4x² + 6x

A área é dada por uma função do 2° grau. Como a < 0, o máximo valor de x é dado por:

Xv = - b

        2a  

Xv =  -  6  

       2(-3/4)

Xv = - 6  

        -3/2

Xv =  6  

        3/2

Xv = 6 · 2/3

Xv = 12/3

Xv = 4

Agora, pode-se calcular o valor de y.

y = 24 - 3x

         4

y = 24 - 3.4

          4

y = 24 - 12

         4

y = 12

     4

y = 3

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