Question

alguem me explica como calcular a geratriz pelo modo de equaçao, agradecidas desde já :*

Answer 1

Nos casos de dízimas mais simples, como as abaixo

0,777...
0,222...
1,111...

Podemos encontrar as frações geratrizes de modo simples. Veja:

Ex: 0,777...

1º passo) Chamamos 0,777... de x:

$x=0,777...$

2º passo) Separamos o período (7, no caso) da dízima: colocamos ele antes da vírgula, multiplicando os dois lados da igualdade por 10 (nesse caso)

$10x=7,777...$

3º passo) Separamos a parte inteira

$10x=7+0,777...$

4º passo) Como 0,777... = x, fazemos a substituição

$10x=7+x$

5º passo) Resolvemos a equação

$10x=7+x~~\therefore~~10x-x=7~~\therefore~~9x=7~~\therefore~~\boxed{\boxed{x=\frac{7}{9}}}$
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Ex: 0,123123.... (período: 123)

1º passo)

$x=0,123123...$

2º passo) Separamos o período (multiplicamos os 2 lados por 1000)

$1000x=123,123123...$

3º passo)

$1000x=123+0,123123...$

4º passo)

$1000x=123+x$

5º passo)

$1000x=123+x~~\therefore~~999x=123~~\therefore~~x=\dfrac{123}{999}=\dfrac{41}{333}$
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Ex: 7,123123...

Note que 7,123123... = 7 + 0,123123..., dessa forma, só precisamos trabalhar com a dízima 0,123...

Sabendo que 0,123... = 41/333, temos que

$7,123123....=7+0,123123....=7+\dfrac{41}{333}=\dfrac{2331+41}{333}=\dfrac{2372}{333}$
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Ex: 0,1777...

Note que $0,1777...=0,1+0,0777...=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}0,777...$

Da mesma forma, trabalhamos com a dízima 0,777..., e substituímos

Como vimos que 0,777... = 7/9, então

$0,1777...=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{7}{9}=\dfrac{9}{90}+\dfrac{7}{90}=\dfrac{9+7}{90}=\dfrac{16}{90}$