alguém me ajude na 4.3 e na 4.4 por favor é para hoje!!
Soluções para a tarefa
Resposta:
x = 135º
A = 10,354 cm²
Explicação passo-a-passo:
4.3: O polígono ABCD inscrito na circunferência é um quadrado. Então, o ângulo AOD mede 90º. Este ângulo é igual à soma dos ângulos AÔE com DÔE. Como OE é a bissetriz, os AÔE e DÔE têm a mesma medida. Então:
AÔE = DÔE = 90º/2 = 45º [1]
O ângulo x é igual à soma dos ângulos AÊO e DÊO:
x = AÊO + DÊO [2]
Estes ângulos têm a mesma medida, pois:
O triângulo AOE é isósceles, pois os lados OE e OA são os raios da circunferência.
Como a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º:
AÊO + EÂO + AÔE = 180º
Como o triângulo é isósceles, os ângulos da base são iguais:
AÊO = EÂO
Então:
AÊO + AÊO + AÔE = 180º
2AÊO + AÔE = 180º
Como vimos em [1] que AÔE = 45º:
2AÊO + 45º = 180º
2AÊO = 180º - 45º
AÊO = 135º/2
AÊO = 67º30'
Como o mesmo ocorre no triângulo DOE:
DÊO = 67º30'
Como deduzimos em [2]:
x = AÊO + DÊO
x = 67º30' + 67º30'
x = 135º
4.4: Vamos chamar ao ponto onde o raio OE encontra o lado AD do triângulo AED de M. Assim, EM é a altura (h) do triângulo AED. A base deste triângulo é AD.
A área do triângulo AED (A) é igual à metade do produto de sua base pela altura:
A = AD × EM ÷ 2
A base AD é lado do quadrado ABCD e hipotenusa do triângulo AOD.
Neste triângulo, de acordo com o enunciado,
OA = OD = 10 cm
Então, aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos a medida de AD:
AD² = OA² + OD²
AD² = 10² + 10²
AD² = 2 × 10²
AD = √2 × 10²
AD = 10√2
A altura EM do triângulo pode ser obtida ao analisarmos o triângulo AEM:
Ele é retângulo, pois EM é perpendicular a AM, e o ângulo AÊM tem a mesma medida que o ângulo AÊO, que, como vimos acima mede 67º30':
- EM é um cateto, adjacente ao ângulo de 67º30'
- AM é um cateto, oposto ao ângulo de 67º30'
- AM é igual à metade de AD: AM = 5√2
Então, para obter a medida de EM, que é a altura (h) do triângulo AEM, vamos aplicar a função trigonométrica tangente, pois:
tangente = cateto oposto/cateto adjacente:
tg 67º30' = AM/h
h = AM/tg 67º30'
h = 5√2 ÷ 2,414
h = 7,07 ÷ 2,414
h = 2,929 cm
A área do triângulo, então, é igual a:
A = 5√2 × 2,929 ÷ 2
A = 7,07 × 2,929 ÷ 2
A = 10,354 cm²