Question

Alguem me ajude com equação geral da circunferência.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\textbf{C) }(x-6)^2 + (y-3)^2 = 9}.$

Explicação passo-a-passo:

Começamos por determinar o ponto de interseção entre as duas retas. Para tal, reescrevemos a equação de $r$:

$3x-y-15=0 \iff y = 3x-15.$

Verificamos assim que a reta $r$ tem declive (coeficiente angular)  $m_r = 3$. Uma vez que $r\perp s$, o declive da reta $s$ deve ser igual ao simétrico do inverso do declive da reta $r$, ou seja:

$m_s = -\dfrac{1}{m_r} = -\dfrac{1}{3}.$

Portanto, a reta $s$ tem equação da forma:

$y = -\dfrac{1}{3}x+b.$

Uma vez que sabemos que $s$ passa por $(3,4)$, podemos determinar o valor de $b$ substituindo $x=3$ e $y = 4$ na equação de $s$:

$4=-\dfrac{1}{3}\times 3 + b \iff 4 = -1 +b \iff b = 5.$

Assim, a reta $s$ tem equação:

$y=-\dfrac{1}{3}x+5.$

Para encontrar a interseção entre as duas retas é dada pela solução da equação:

$3x-15=-\dfrac{1}{3}x+5 \iff 3x + \dfrac{1}{3}x = 5+15 \iff \dfrac{10}{3}x=20 \iff x =6.$

Substituindo em qualquer uma das equações (por exemplo, na 1.ª), vem:

$y=3\times 6-15 = 18-15 = 3.$

Portanto, o ponto de interseção entre as duas retas tem coordenadas:

$(6,3).$

Para uma circunferência de centro no ponto de coordenadas $(a,b)$ e raio $r$, tem-se a equação:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$

Portanto, no nosso caso, tem-se $a=6$, $b=3$ e $r^2 = 3^2 = 9$, donde se obtém por fim:

$\boxed{(x-6)^2 + (y-3)^2 = 9}.$