Question

ALGUÉM ME AJUDAAAAAAAA

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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Olá. Fatorar é dividir... dividir por números que são chamados Primos.

São números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, ... são infinitos... ^^)

Eles têm uma particularidade: só são divisíveis por 1 e por eles mesmos.

Para usar a fatoração comece a divisão pelo menor número primo, quantas vezes puder, e vá usando os demais até onde precisar. A ideia é chegar no resto igual a 1. Aí os divisores das divisões serão os "fatores" do número que quer fatorar.

256 : 2 = 128 : 2 = 64 : 2 = 32 : 2 = 16 : 2 = 8 : 2 = 4 : 2 = 2 : 2 = 1

Então,

256 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = $2^{8}$

Veja lá na imagem como se monta essa divisão.

Bom, fatoramos o 256. Agora vamos ver se ele é quadrado perfeito.

Veja o conjunto dos números inteiros Z:

Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...}

Os números inteiros que são quadrados de outro número inteiro se denominam "números quadrados perfeitos", ou apenas "quadrados perfeitos".

Por exemplo,

0 é quadrado perfeito (pois 0 elevado ao quadrado dá 0)

1 é quadrado perfeito (pois 1 elevado ao quadrado dá 1)

4 é quadrado perfeito (pois 2 elevado ao quadrado dá 4)

9 é quadrado perfeito (pois 3 elevado ao quadrado dá 9)

16 é quadrado perfeito (pois 4 elevado ao quadrado dá 16)

25 é quadrado perfeito (pois 5 elevado ao quadrado dá 25)

36 é quadrado perfeito (pois 6 elevado ao quadrado dá 36)

e por aí vai...

Então, se um número elevado ao quadrado gera um número quadrado perfeito, para sabermos se um número é quadrado perfeito fazemos a operação contrária da potenciação, que é a radiciação. Em vez de elevar ao quadrado, vamos então tirar a raiz quadrada.

Um número será quadrado perfeito se sua raiz quadrada for também um número inteiro. ^^) legal!

$\sqrt{36} =6$ , então 36 é número quadrado perfeito

$\sqrt{25} =5$ , então 25 é número quadrado perfeito

$\sqrt{16} =4$ , então 16 é número quadrado perfeito

$\sqrt{9} =3$ , então 9 é número quadrado perfeito

$\sqrt{4} =2$ , então 4 é número quadrado perfeito

$\sqrt{1} =1$ , então 1 é número quadrado perfeito

$\sqrt{0} =0$ , então 0 é número quadrado perfeito

Entendeu?? :)

Vamos tirar a raiz quadrada de 256 para ver se ele é ou não um número quadrado perfeito?

$\sqrt{256} =\sqrt{2^{8} } =2^{4} =16$

OPA! 256 é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada deu um número inteiro! Beleza!

Na imagem você tem uma lista com vários números quadrados perfeitos e suas raízes inteiras. O legal é que se você elevar as raízes ao quadrado, volta a ter os números quadrados perfeitos. ^^)

E o seu exercício? Ele pergunta sobre a questão dos expoentes serem ou não serem pares... O fato é que, para um expoente sair de uma raiz quadrada ele precisa ser par, pois a raiz quadrada é de índice 2. Só um expoente par consegue ser dividido por 2 e não deixar resto. Veja:

$\sqrt[2]{81} = \sqrt[2]{3^{4}} =3^{2} = 9$

81 é igual a 3 elevado a 4.

O expoente 4 foi dividido pelo índice 2 da raiz quadrada. Deu como resultado expoente 2. Ok. Por causa disso,

O resultado da raiz quadrada de 81 é um número inteiro: 9

Então 81 é um número quadrado perfeito.

$\sqrt[2]{27} = \sqrt[2]{3^{3}} = \sqrt[2]{3^{2}*3^{1}} =3\sqrt[2]{3}$

27 é igual a 3 elevado a 3.

3 elevado a 3 é o mesmo que 3 * 3 * 3 = 3² * 3¹

O expoente 2 consegue ser dividido pelo índice 2. Esse 3 de expoente 2 consegue sair da raiz.

O expoente 1 não consegue ser dividido pelo índice 2. Esse 3 de expoente 1 não consegue sair da raiz, e fica dentro dela.

Então teve um expoente par (igual a 2) e outro expoente ímpar (igual a 1).

Por causa disso,

O resultado da raiz quadrada de 27 não é um número inteiro: $3\sqrt[2]{3}$

Então 27 não é um número quadrado perfeito.

E o 256?

Fatorado, 256 é igual a $2^{8}$.

$2^{8}$ é dois elevado a um expoente par, que é 8.

Então 256 com certeza será um número quadrado perfeito, porque o expoente 8, POR SER EXPOENTE PAR, conseguirá sair da raiz quadrada.

Resposta do exercício:

256 é quadrado perfeito, pois todos os expoentes são pares.

Bons estudos para você. ^^)