Question

ALGUÉM ME AJUDAA PRFVVV, EU TENHO QUE ENTREGAR AGR....
Em um losango, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (0, 4), (-2, 6)
e (0, 8). Qual a soma das coordenadas do quarto vértice?

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a soma das coordenadas do quarto vértice do referido losango é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = 8\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os três vértice consecutivos de um losango:

                $\Large\begin{cases} A = (0, 4)\\B = (-2, 6)\\C = (0, 8)\\D = \:?\\ S = \:?\end{cases}$

Observe que o polígono referido no enunciado é um losango. Desta forma, temos a primeira e mais importante propriedade dos losangos que nos diz:

"Losango é todo paralelogramo cujas diagonais se cruzam perpendicularmente pelos respectivos pontos médios."

A partir desta propriedade, decorre outra tão importante quanto a primeira. Esta segunda propriedade nos diz:

"Todos os lados do losango são congruentes."

Além disso, devemos saber que o ponto médio "M" das diagonais do referido losango pode ser calculado pela seguinte fórmula:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} M = \left(\frac{x_{A} + x_{C}}{2},\,\frac{y_{A} + y_{C}}{2}\right)\end{gathered} }$

Desta forma, podemos resolver esta questão por vetores. Então, fazemos:

  $\Large \text { \begin{aligned}\overrightarrow{BD} & = 2\cdot\overrightarrow{BM}\\D - B & = 2\cdot(M - B)\\D - B & = 2M - 2B\\D & = 2M - 2B + B\\D & = 2M - B\\D & = 2\cdot\left(\frac{x_{A} + x_{C}}{2},\,\frac{y_{A} + y_{C}}{2}\right) - B\\D & = 2\cdot\left(\frac{0 + 0}{2},\,\frac{4 + 8}{2}\right) - (-2, 6)\\D & = 2\cdot\left(\frac{0}{2},\,\frac{12}{2}\right) - (-2, 6)\\D & = 2\cdot(0,\,6) - (-2, 6)\\D & = (0, 12) - (-2, 6)\\D & = (0 - (-2),\,12 - 6)\\D & = (2,\,6)\end{aligned} }$

✅ Portanto, o quarto vértice é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} D = (2, \,6)\end{gathered}$

Então, a soma das coordenadas do quarto vértice é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = 2 + 6 = 8\end{gathered}$

✅ Portanto, a soma das coordenadas do quarto vértice é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = 8\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$