Question

ALGUÉM ME AJUDA, URGENTE????

Podemos afirmar que \( ∫($sen^{4}$y)dy = $\frac{[tex]sen^{5}$y}{5}[/tex]$sen^{5}$y5+c \) .

Answer 1

Pelo que eu entendi, a integral é dada por:

$\int sen {}^{4} y \: dy$

Para encontrar o resultado dessa integral, devemos lembrar que numa integral trigonométrica do tipo $\int sen^{n}dx$, quando o expoente é par, devemos usar a seguinte relação para prosseguir o cálculo:

$\underbrace{\int sen {}^{n} dx}_{n \: \acute{e} \: par} \longrightarrow sen {}^{2} x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Para aplicar essa relação na nossa integral, vamos iniciar fazer uma modificação na expressão, de forma que apareça o termo sen²(y) e assim possamos fazer uma substituição:

$\int sen {}^{4} y \: dy = \int (sen {}^{2} y) {}^{2} \: dy$

Substituindo a relação que citamos ali em cima:

$\int \left( \frac{1 - \cos(2y)}{2} \right) {}^{2} \: dy \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Desenvolvendo o produto notável:

$\int \left( \frac{1 - \cos(2y)}{2} \right). \left( \frac{1 - \cos(2y)}{2} \right)dy \\ \\ \int \frac{1 - 2 \cos(2y) + \cos {}^{2} (2y)}{4} dy\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos retirar o termo constante de dentro da integral, já que constantes transitam livremente para dentro e fora da integral:

$\int \frac{1}{4} .(1 - 2 \cos(2y) + \cos {}^{2} (2y))dy \\ \\ \frac{1}{4} \int (1 - 2 \cos(2y) + \cos {}^{2} (2y))dy$

Aplicando a integral em todos os termos:

$\frac{1}{4} . \left( \int1dy - \int 2 \cos(2y)dy + \int \cos {}^{2} (2y) dy\right)$

Resolvendo essas integrais:

• Primeira integral:

Essa primeira integral é de boas de resolver, pois é bastante conhecida:

$\int 1dy = y + k ,k\in\mathbb{R}$

• Segunda integral:

Nessa integral devemos usar o método da substituição, já que temos dentro do parêntese o temo (2y), essa relação da substituição é equivalente a regra da cadeia nas derivadas:

$\int 2 \cos(2y)dy \longrightarrow u = 2y \\ \\ \frac{du}{dy} = 2 \longrightarrow dy = \: \: \: \: \: \frac{du}{2} \\ \\ \int 2. \cos(u). \frac{du}{2} \to \int \cos(u)du \\ \\ \int \cos(u)du = \sin(2y) + k,k\in\mathbb{R}$

• Terceira integral:

Essa já é um pouco mais complicada, pois mais uma vez é necessário aplicar aquela relação do começo, pois temos um expoente par, só que dessa vez a relação é:

$\underbrace{\int \cos {}^{n}y \: dy }_{n \: \acute{e} \: par} \longrightarrow \cos {}^{2} y = \frac{1 + \cos(2y)}{2}$

Sabendo disso, vamos aplicar essa relação;

$\int \cos {}^{2} (2y) dy= \int \frac{1 + \cos(2.2y)}{2} dy \\ \\ \int \frac{1}{2}(1 + \cos(4y))dy = \frac{1}{2} \int( 1 + \cos(4y))dy \\ \\ \frac{1}{2} \int 1dy + \frac{1}{2} \int \cos(4y)dy = \frac{y }{2} + \frac{sen(4y)}{8}$

Substituindo todos esses resultados naquela expressa onde paramos:

$\frac{1}{4} \left(y - \sin(2y) + \ \frac{y}{2} + \frac{\sin(4y)}{8}\right) \\ \\ \frac{y}{4} - \frac{ \sin(2y)}{4} + \frac{y}{8} + \frac{ \sin(4y)}{32} \\ \\ \boxed{ \frac{3y}{8} - \frac{ \sin(2y)}{4} + \frac{ \sin(4y)}{32} + k,k\in\mathbb{R}}$

Espero ter ajudado