Question

Alguém me ajuda urgente pfv, preciso pra amanhã !

Answer 1

Aqui podemos utilizar três propriedades da matemática:

$\sqrt[c]{a^b} = a^{\frac{b}{c}}$

Que diz que toda raiz é um expoente fracionário. Por exemplo: $\sqrt[2]{9} = 9^{\frac{1}{2}}$

A segunda:

$(a^{b})^c = a^{b \cdot c}$

Que diz que expoente do expoente equivale a multiplicar os expoentes.

A terceira:

$a^{-b} = \dfrac{1}{a^b}$

Que diz que podemos transformar um expoente negativo em positivo. Por exemplo: $2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$

Sendo assim:

a) $\sqrt[{x-1}]{\sqrt[3]{2^{3 \cdot x - 1}}} - \sqrt[{3\cdot x}]{8^{x+1}} = 0$

Pode ser reescrita utilizando a primeira propriedade:

$\left(\left(2^{3 \cdot x - 1}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{x-1}} - \left(8^{x+1}\right)^{\frac{1}{3 \cdot x}} = 0$

Agora utilizando a segunda propriedade:

$\left(2^{\frac{3 \cdot x - 1}{3} \cdot \frac{1}{x-1}}\right) - 8^{\frac{x+1}{3 \cdot x}} = 0$

Perceba que:

$8 = 2\cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Agora fazendo essa substituição e então aplicando a segunda propriedade novamente:

$\left(2^{\frac{3 \cdot x - 1}{3 \cdot x - 3}\right) - 2^{3 \cdot \frac{x+1}{3 \cdot x}} = 0$

$2^{\frac{3 \cdot x - 1}{3 \cdot x - 3}} - 2^{\frac{x+1}{x}} = 0$

Agora passo a segunda parte para o lado direito da igualdade:

$2^{\frac{3 \cdot x - 1}{3 \cdot x - 3}}= 2^{\frac{x+1}{x}}$

Como as bases são iguais, podemos resolver a equação considerando apenas os expoentes:

$\dfrac{3 \cdot x - 1}{3 \cdot x - 3} = \dfrac{x+1}{x}$

Fazendo as multiplicações cruzadas:

$(3 \cdot x - 1)\cdot x = (x+1) \cdot (3 \cdot x - 3)$

Fazendo as distributivas:

$3 \cdot x^2 - x= 3 \cdot x^2 - 3 \cdot x + 3 \cdot x - 3$

Vou passar tudo para o lado esquerdo:

$3 \cdot x^2 - 3 \cdot x^2 - x + 3 \cdot x - 3 \cdot x +3 = 0$

Agrupando os termos em comum:

$-x +3 = 0$

$-x = -3$

$\boxed{x=3}$

b)

Passa o denominador multiplicando o 2:

$3^x + 3^{-x} = 2 \cdot (3^x - 3^{-x} )$

Utilizando a terceira propriedade:

$3^x + \dfrac{1}{3^x} = 2 \cdot \left(3^x - \dfrac{1}{3^x} \right)$

Multiplicando e dividindo por $3^x$ de forma a manter o mesmo denominador:

$3^x \cdot \dfrac{3^x}{3^x}+ \dfrac{1}{3^x} = 2 \cdot \left(3^x \cdot \dfrac{3^x}{3^x} - \dfrac{1}{3^x} \right)$

Teremos:

$\dfrac{(3^x)^2}{3^x}+ \dfrac{1}{3^x} = 2 \cdot \left(\dfrac{(3^x)^2}{3^x} - \dfrac{1}{3^x} \right)$

Ficará:

$\dfrac{(3^x)^2+1}{3^x} = 2 \cdot \left(\dfrac{(3^x)^2-1}{3^x}\right)$

Multiplicando por $3^x$ dos dois lados da equação conseguimos acabar com as frações:

$\dfrac{(3^x)^2+1}{3^x} \cdot 3^x = 2 \cdot \left(\dfrac{(3^x)^2-1}{3^x}\right) \cdot 3^x$

$(3^x)^2+1= 2 \cdot \left((3^x)^2-1\right)$

Agora faremos uma substituição de variáveis:

$X = 3^x$

Teremos:

$X^2+1= 2 \cdot \left(X^2-1\right)$

$X^2+1= 2 \cdot X^2-2$

$1+2 = 2 \cdot X^2 - X^2$

$3 = X^2$

Assim:

$X = \pm \sqrt{3}$

ou, utilizando a primeira propriedade novamente:

$X = \pm 3^{\frac{1}{3}}$

Voltando para a variável original, x:

$X = 3^x$

$\pm 3^{\frac{1}{3}} = 3^x$

Como no lado direito o 3 é positivo, só a parte positiva da resposta nos interessa.

$3^{\frac{1}{3}} = 3^x$

Bases iguais, igualamos os expoentes:

$\boxed{x = \frac{1}{3}}$