Alguém me ajuda, por favor! Estou chorando!
A) Se a equação mx² - (m-1)x + 3 = 0 tem uma raiz igual a 2, calcule o valor de m.
B) Determine os valores reais de m, na equação x² - mx + m + 1, de modo que admita uma raiz real.
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Veja, Popeye, que a resolução é simples.
Tem-se as seguintes questões:
1) Se "-2" e "-5" são as raízes da equação: x² + mx + n = 0. Então o valor de m + n é igual a quanto?
Antes veja que se uma equação do segundo grau, da forma ax² + bx + c = 0 , com raízes iguais a x' e x'', ela poderá ser expressa em função de suas raízes da seguinte forma:
ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x'').
Assim, tendo, portanto, a expressão acima como parâmetro, então a equação x² + mx + n = 0, com raízes iguais a "-2" e "-5", será esta:
x² + mx + n = a*(x-(-2))*(x-(-5)) ---- como o termo "a" é igual a "1", temos (note que o termo "a' é o coeficiente de x²):
x² + mx + n = 1*(x+2)*(x+5) ----- aplicando a distributiva do produto, temos:
x² + mx + n = x² + 7x + 10 <--- Pronto. Esta é a equação que tem raízes iguais a "-2" e "-5". Assim, a soma (que vamos chamar de "s") de "m+n" será esta (note que m = 7 e n = 10):
m + n = 7 + 10
m + n = 17 <--- Esta é a resposta para a 1ª questão.
2) Qual é o valor de m para a equação (m - 1) x² + mx = 0 admita duas raízes reais distintas?
Note que a equação desta 2ª questão é incompleta. Está faltando o termo "c". Assim, poderemos escrevê-la assim, o que é a mesma coisa: (m-1)x²+mx+0=0.
Mas antes de resolver veja que uma equação do 2º grau deverá ter, NECESSARIAMENTE, o seu termo "a" DIFERENTE de zero. E o termo "a" da equação desta 2ª questão é (m-1) , que é o coeficiente de x².
Assim, deveremos impor, como primeira condição de existência desta equação do 2º grau dada o seguinte:
m - 1 ≠ 0
m ≠ 1 ------ Esta é a primeira condição de existência para a equação do 2º grau da 2ª questão.
Agora vamos para a outra condição de existência: uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0 terá duas raízes reais e distintas se e somente se o seu delta for maior do que zero.
Veja que o delta (b² - 4ac) da equação da sua questão é este: (m² - 4*(m-1)*0). Então vamos impor que ele seja MAIOR do que zero, para que possa ter duas raízes reais. Assim:
m² - 4*(m-1)*0 > 0 ---- desenvolvendo, teremos:
m² - 0 > 0
m² > 0
m > ± √(0) ---- como √(0) = 0, teremos;
m > ± 0 ---- agora note: quando se tem algo assim: x > ± a, isto significa que: x < -a, ou x > a.
Logo, se temos que:m > ± 0, então isto significaria em princípio que:
m < -0, ou m > 0. Mas como não existe "-0", então teremos que a outra condição de existência será esta:
m < 0, ou m > 0 ----- Esta é a outra condição de existência. Esta é para que a equação tenha duas raízes reais e distintas.
Então a resposta será a intersecção entre o que vale para a primeira condição de existência (m ≠ 1) e a outra será o que acabamos de ver acima: m<0, ou m>0.
Então vamos fazer o seguinte: marcaremos o que vale para cada uma das condições de existência com o símbolo ////////. E a intersecção marcaremos com o símbolo |||||||.
Assim, teremos:
m ≠ 1 .............. / / / / / / / / / / / / / / / / (1) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
m<0, ou m>0../ / / / / / (0) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
Intersecção.... | | | | | | | | (0) | | | | | | | | | (1) | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Assim, como você viu, a intersecção entre o que vale para as duas condições de existência ficou no seguinte intervalo:
m < 0, ou 0 < m < 1, ou m > 1 ---- Esta é a resposta para a 2ª questão.
Veja: "m" não poderá ser igual a zero, pois se m = 0, iremos ter duas raízes reais e ambas iguais a zero. E a questão pede que sejam duas raízes reais e distintas. Se são distintas, então a resposta é a que demos aí em cima, certo?
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.