Question

Alguem me ajuda pfvr??? sem roubar pontos
→RESOLVER A EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR
$\frac{dy}{dx} +(3+\frac{1}{x}) y=\frac{e^{-3x} }{x}$

Answer 1

A solução da equação diferencial dada é $\mathsf{y=e^{-3x}+\dfrac{c}{e^{3x}x},\,c\in\mathbb{R}.}$

Explicação

Queremos resolver a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem:

$\Large\displaystyle\mathsf{\frac{dy}{dx}+\left(3+\frac{1}{x}\right)y=\frac{e^{-3x}}{x}.}$

Trata-se de uma EDO linear completa, ou não homogênea, que já se encontra em sua forma típica (forma padrão).

Forma padrão: $\Large\boxed{\mathsf{y'+p(x)y=q(x)}}$

Vamos resolvê-la usando o fator integrante, que é dado por:

$\Large\displaystyle\mathsf{\mu=exp\left(\int p(x)\,dx\right)}$.

Note que, na EDO dada, têm-se $\mathsf{p(x)=3+\dfrac{1}{x}}$ e $\mathsf{q(x)=\dfrac{e^{-3x}}{x}.}$

Desse modo, segue que:

$\Large\displaystyle\mathsf{\mu=exp\left(\int p(x)\,dx\right)=}\\\\\\\Large\mathsf{=exp\left(\int\left(3+\frac{1}{x}\right)\,dx\right)=}\\\\\\\Large\mathsf{=exp\left(3x+\ln|x|\right)=}\\\\\\\Large\mathsf{=e^{3x+\ln|x|}=}\\\\\\\Large\mathsf{=e^{3x}\cdot e^{\ln|x|}=}\\\\\\\Large\mathsf{=e^{3x}\cdot|x|}$

Pode-se considerar o fator integrante como $\mathsf{\mu=e^{3x}\cdot x,}$ já que vamos multiplicar ambos os membros da equação e o sinal não importa.

Multiplicando ambos os membros da EDO pelo fator integrante, temos:

$\Large\displaystyle\mathsf{e^{3x}\cdot x\cdot y'+e^{3x}\cdot x\cdot\left(3+\frac{1}{x}\right)y=e^{3x}\cdot x\cdot\frac{e^{-3x}}{x}}\\\\\\\Large\mathsf{e^{3x}\cdot x\cdot y'+\left(3xe^{3x}+e^{3x}\right)y=1}$

Agora perceba o seguinte:

$\Large\displaystyle\mathsf{\underbrace{e^{3x}\cdot x}_{\mu}\cdot y'+\underbrace{\left(3xe^{3x}+e^{3x}\right)}_{\mu'}\cdot y=1}$

Então, pela Regra do Produto de derivadas, decorre que:

$\Large\displaystyle\mathsf{\left(e^{3x}x\cdot y\right)'=1}$

Integrando ambos os membros de $\mathsf{\left(e^{3x}x\cdot y\right)'=1}$ em relação a x, tem-se:

$\Large\displaystyle\int\mathsf{\left(e^{3x}x\cdot y\right)'\,dx=\int 1\,dx}\\\\\\\Large\mathsf{e^{3x}x\cdot y=x+c}\\\\\\\Large\mathsf{y=\frac{x+c}{e^{3x}x}}\\\\\\\Large\mathsf{y=\frac{1}{e^{3x}}+\frac{c}{e^{3x}x}}\\\\\\\Large\mathsf{y=e^{-3x}+\frac{c}{e^{3x}x}}$

sendo c uma constante real.

∴ $\Large\boxed{\mathsf{y=e^{-3x}+\frac{c}{e^{3x}x}}}$

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