Question

Alguém me ajuda pfvr nessa de P.I.F:
Prove que $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \dfrac{n^4 +2n^3+n^2}{4}$ para todo número inteiro $n\geq 1$.

Answer 1

Segue o principio da indução finita.

Inicialmente propomos uma propriedade $P(n)$  descrita em termos de números naturais $n$. Daí verificamos se as seguintes afirmações são verdadeiras.

1) Se $P(1)$ é válida.

2) Assumimos que $P(k)$ é valida e utilizamos isso para verificar se $P(k+1)$  também é valida.

Se essas condições forem verdadeiras, dizemos que $P(n)$ serve para qualquer $n\geq 1$.

A questão:

Nossa proposição é se  $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \dfrac{n^4 +2n^3+n^2}{4}$ para qualquer $n\geq 1$.

Inicialmente, verificaremos se é válida para $n=1$.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{1} i^{3} = \dfrac{1^4 +2\cdot1^3+1^2}{4}\\~\\~\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{1} i^{3} = 1$

E de fato, $1^3 = 1$.

Agora assumiremos que ela é válida para um valor k:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k} i^{3} = \dfrac{k^4 +2k^3+k^2}{4}$

Verificando se ainda é válida para $k+1$:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = \dfrac{(k+1)^4 +2\cdot(k+1)^3+(k+1)^2}{4}$

Lembre-se que:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = 1^3 +2^3 +3^3+4^3+\cdots+(k-1)^3 +k^3 +(k+1)^3$

Observe que:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = (\underbrace{1^3 +2^3 +3^3+4^3+\cdots+(k-1)^3 +k^3}_{\displaystyle\sum_{i=1}^{k} i^{3}}) +(k+1)^3$

A parte esquerda é equivalente ao somatório anterior. Então:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} i^{3}+(k+1)^3$

Voltando à nossa equação:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} i^{3} = \dfrac{(k+1)^4 +2\cdot(k+1)^3+(k+1)^2}{4}$

Substituindo:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k} i^{3}+(k+1)^3 = \dfrac{(k+1)^4 +2\cdot(k+1)^3+(k+1)^2}{4}$

Substituindo o valor de  $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} i^{3}$:

$\dfrac{k^4 +2\cdot k^3+k^2}{4}+(k+1)^3 = \dfrac{(k+1)^4 +2\cdot(k+1)^3+(k+1)^2}{4}$

Multiplicando ambos os lados por 4:

$k^4 +2\cdot k^3+k^2+4\cdot(k+1)^3 =(k+1)^4 +2\cdot(k+1)^3+(k+1)^2$

$k^4 +2\cdot k^3+k^2+2\cdot(k+1)^3 =(k+1)^4 +(k+1)^2$

$2\cdot k^3+2\cdot(k+1)^3 =(k+1)^4-k^4 +(k+1)^2-k^2$

Sabemos que:

$a^n -b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}\cdot b+a^{n-3}\cdot b^2+\cdots+a\cdot b^{n-2}+b^{n-1})$

Aplicando:

$2\cdot k^3+2\cdot(k+1)^3 =(k+1)^4-k^4 +(k+1)^2-k^2$

$2\cdot[ k^3+(k+1)^3] =(k+1-k)((k+1)^3 +(k+1)^2\cdot k +(k+1)\cdot k^2+k^3) +(k+1-k)(k+1+k)$

$2\cdot[ k^3+(k+1)^3] =((k+1)^3 +(k+1)^2\cdot k +(k+1)\cdot k^2+k^3) +(k+1+k)$

$2\cdot[ k^3+(k+1)^3] =(k^3 +3k^2 +3k+1 +k^3+2k^2+k +k^3+k^2+k^3) +2k+1$

$2\cdot[ k^3+(k+1)^3] =4k^3 +3k^2 +3k+1 +2k^2+k+k^2+2k+1$

$2\cdot[ k^3+(k+1)^3] =4k^3 +6k^2 +3k+1+k+2k+1$

$2\cdot[ k^3+(k+1)^3] =4k^3 +6k^2 +6k+2$

Dividindo ambos os lados por 2:

$k^3+(k+1)^3 =2k^3 +3k^2 +3k+1$

$(k+1)^3 =k^3 +3k^2 +3k+1$

$k^3+3k^2+3k+1 =k^3 +3k^2 +3k+1$

$0=0$

Como $0=0$, temos que a proposição inicial é verdadeira para qualquer n maior ou igual a 1.