Question

Alguem me ajuda pfvr?? calcule a primitiva usando a regra de integração por partes

Answer 1

Resposta:

$\int e^{2x} sen x dx = \frac{1}{3} e ^{2x}( 2sen x - cos x) + C$

Explicação passo a passo:

Pelo método de integração por partes

$\\\int\limits u dv = uv - \int v du$

Sejam

$u = e^{2x} \\dv = senx dx\\\\temos\\\\du = e^{2x} 2dx = 2 e^{2x}dx\\v = - cos x$

$Assim,\\\int e^{2x}senxdx = e ^{2x}(-cos x) - \int -cos x( 2 e^{2x}) dx\\\\= -e ^{2x}(cos x) + 2\int e^{2x} cos x dx\\\\Agora \ temos\\\\w = e^{2x} , \ o \ que \ implica dw = 2e^{2x}\\dz = cos x dx, \ o \ que \ implica \ z = sen x\\\\Dai, \\\\\int e^{2x}senxdx = -e ^{2x}(cos x) + 2\int e^{2x} cos x dx\\= -e ^{2x}(cos x) + 2(e ^{2x}(sen x) - \int e^{2x} sen x dx)$

Simplificando

$\int e^{2x}senxdx = -e ^{2x}(cos x) + 2e ^{2x}(sen x) - 2\int e^{2x} sen x dx\\= e ^{2x}( 2sen x - cos x) - 2\int e^{2x} sen x dx$

Por fim

$\int e^{2x}senxdx + 2\int e^{2x} sen x dx = e ^{2x}( 2sen x - cos x) \\3\int e^{2x} sen x dx = e ^{2x}( 2sen x - cos x) \\\int e^{2x} sen x dx = \frac{1}{3} e ^{2x}( 2sen x - cos x) + C$