Question

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→Resolver a Equação Linear

Answer 1

A solução geral da equação diferencial dada é $\mathsf{y=x^5e^x-x^4e^x+x^4c.}$

Explicação

Deseja-se resolver a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem:

$\displaystyle\mathsf{\frac{dy}{dx}-\frac{4}{x}y=x^5e^x.}$

Uma EDO linear de primeira ordem possui a seguinte forma típica:

$\mathsf{y'+p(x)y=q(x)}$ ou, de forma simplificada, $\mathsf{y'+py=q}$.

A solução geral de uma EDO linear completa de primeira ordem é dada pela seguinte fórmula:

$\boxed{\mathsf{y=e^{-\int p\,dx}\left(\int qe^{\int p\,dx}dx+c\right)}}$

Vamos resolver a EDO dada usando essa fórmula seguindo os seguintes passos:

1º Passo

Calcular $\displaystyle\mathsf{\int p\,dx.}$

$\displaystyle\mathsf{\int p\,dx=\int -\frac{4}{x}dx=}\\\\\\\mathsf{=-4\ln(x)}$

2º Passo

Calcular $\displaystyle\mathsf{\int qe^{\int p\,dx}\,dx.}$

$\displaystyle\mathsf{\int qe^{\int p\,dx}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=\int x^5e^x\cdot e^{-4\ln(x)}dx=}\\\\\\\mathsf{=\int x^5e^x\cdot x^{-4}dx=}\\\\\\\mathsf{=\int xe^xdx}\quad\textsf{(I)}$

Agora vamos utilizar integração por partes em (I). Para tanto, seja $\mathsf{u=x}$ e $\mathsf{dv=e^xdx.}$ Dessa forma, têm-se $\mathsf{du=dx}$ e $\mathsf{v=e^x.}$

Daí,

$\displaystyle\mathsf{\int xe^xdx=\int u\,dv=}\\\\\\\mathsf{=uv-\int v\,du=}\\\\\\\mathsf{=xe^x-\int e^x\,dx=}\\\\\\\mathsf{=xe^x-e^x}$

3º Passo

Substituir na fórmula da solução geral:

$\displaystyle\mathsf{y=e^{4\ln(x)}\left(xe^x-e^x+c\right)}\implies\\\\\\\implies\mathsf{y=x^4(xe^x-e^x+c)}\implies\\\\\\\implies\boxed{\boxed{\mathsf{y=x^5e^x-x^4e^x+x^4c}}}$

Está resolvida a equação dada.

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